![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение. Множество М элементов x,y,z…любой природы называют линейным (аффинным, векторным) пространством, если выполнены требования:
1-е. Имеется правило, по которому любым двум элементам х и у из М ставится в соответствие третий элемент z из М, называемый суммой и обозначаемый x+y=z.
2-е. Имеется правило по которому любому элементу х из М и действительному числу к ставится в соответствие элемент у из М, называемый произведением числа на элемент и обозначаемый кx=y.
3-е. Указанные правила подчиняются законам (аксиомам):
1* - x+y=y+x: 2* - (x+y)+z=x+(y+z); 3* - существует элемент, называемый нуль элементом и обозначаемый 0, такой, что x+0=x; 4* - для каждого х существует элемент, называемый противоположный и обозначаемый -х, такой что х+(-х)=0; 5* 1х=х; 6* - с(кх)=(ск)х – сочетательный закон для умножения; 7* - (к+с)х=кх+сх – распределительный закон умножения относительно сложения; 8* - к(х+у)=кх+ку - распределительный закон сложения относительно умножения.
Если же природа элементов указана так же как и конкретный вид операций, то множество называют конкретным линейным пространством.
Примеры. Множество всех векторов на прямой (на плоскости, в пространстве), если сложение определено по правилу треугольника (параллелограмма), а умножение на число как деформация, будет линейным векторным пространством с обозначением V1(V2, V3).
Множество полиномов степени не выше 2, если правила суммирования и умножения на число определены как обычно, линейное векторное пространство.
Множество функций, непрерывных на отрезке, множество решений однородной системы и т.д.
В то же время полиномов степени 2, если правила суммирования и умножения на число определены как обычно, не будет линейным векторным пространством, т.к. возможно потеря старшей степени при суммировании таких полиномов (после приведения подобных).
Элементы линейных пространств принято называть векторами. А т.к. умножение производят на действительное число, то еще и действительными.
Опред. Выражение принято называть линейной комбинацией элементов (векторов) ЛП.
Опред. Элементы (векторы) {xi} называют линейно независимыми, если их обращается в нуль тогда и только тогда, когда все ai =0.
Опред. Множество {xi} ненулевых линейно независимых векторов (элементов) называют базисом ЛП, если для любого х не из этого множества существуют такие { ai } не все равные нулю, что будет справедливо равенство х= . Последнее равенство называют разложением элемента х в базисе(по базису).
Опред. ЛП называют n-мерным, если в нем существуют n линейно независимых вектора, а n+1 вектор уже будут линейно зависимыми. N называют размерность ЛП и записывают это так dimM=n.
Т.к. иных операций в ЛП не введено, то
Опред. Два ЛП называют изоморфными, если между их элементами установлено взаимно-однозначное соответствие ткк, что, если х и у принадлежат ЛП M и им соответствуют x’, y’ из ЛП M’, то х+у соответствует x’+y’, а кх соответствует кx’ из М’.
Из последнего следует, что единственной характеристикой ЛП является его размерность. Пишут так Mn.
Опред. Подмножество L из ЛП М, в котором справедливы указанные в определении ЛП операции называют линейным подпространством из Mn.
Определение. Действительное ЛП называют евклидовым, если выполнены требования:
2- имеется правило, по которому любым х и у из ЛП ставится в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением и обозначаемое (х,у);
3- указанное правило подчиняется аксиомам: а - (х,у)=(у,х); б – (х1+х2)у=х1у+х2у; с – (кх,у)=к(х,у) для любого к; d – (х,х)>0, если х не нулевой и (х,х)=0, если х - нулевой.
Примерами евклидова пространства будут уже упоминаемые ранее V1,V2, V3.
Примером ЕП будет множество упорядоченных совокупностей Аn, если операцию скалярное произведение определить по формуле (х,у)= .
Свойства. Для любых х и у из ЕП справедливо равенство (Коши-Буняковсого) (х,у)2 (х,х)(у,у).
Доказательство. Согласно аксиомы d имеем (кх-у,кх-у)=к2(х,х)-2к(х,у)+(у,у) 0. Для того, чтобы квадратный трехчлен был неотрицателен при любых значениях переменной к требуется, чтобы дискриминант был неположителен. Получаем (х,у)2-(х,х)(у,у)
0. Откуда и следует требуемое.
Опред. ЛП называют нормированным, если выполнены требования:
1- имеется правило, по которому любому х из ЛП ставится в соответствие действительное число, называемое нормой элемента и обозначаемое (длиной);
2- это правило подчиняется аксиомам: а - >0, если х не нуль и
=0, если х – нуль-элемент; б -
=
для любого действительного к; с – для любых х и у верно
+
- неравенство треугольника.
ЕП будет нормированным, если норму определить так =
(корень квадратный из скалярного квадрата).
Опред. n – элементов ei 0 образуют ортонормированный базис в ЛП, если:
а – (ei, ei)= . Получение
=1 называют нормированием.
Свойство. Если ЛП ортонормированно с базисом { ei }, то (х,у)= .
Док-во. Пусть х и у произвольные из ЕП и { ei } произвольный ортонормированный в нем. Тогда х= и у=
. Но тогда (х,у)= (
,
)=
, ввиду ортогональности ei.
Теперь легко выяснить смысл понятия ‘координата’ в ортонормированном базисе. Возьмем произвольный х= и произвольный ei из базиса. Вычислим (х, ei) =(
, ei)=xi. Т.е. координата – это произведение вектора х на базисный орт.
в
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 248 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!