Формулы Крамера

Теорема. Если матрица линейной системы невырождена, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам , где j - определитель, полученный из заменой столбца j матрицей-столбцом свободных членов; j=1,2,3,...,m.

Доказательство. Пусть матрица в системе (1) квадратная размерности mm. Умножим в системе первое уравнение на А₁₁, 2-е - на А₂₁ и т.д. последнее - на А_m1. Затем суммируем отдельно левые и правые части всех уравнений. Получим после группировки по общим множителям x_j слева x₁(a₁₁A₁₁+a₂₁A₂₁+...+a_m1A_m1)+x₂(a₁₂A₁₁+a₂₂A₂₁+...+a_m2A_m1)+...

+ x_ь(a_1ььA₁₁+a_2ьA₂₁+...+a_mьA_m1), а справа b₁A₁₁+b₂A₂₁+...+b_mA_m1 . В первой скобке записан определитель , вычисленный по элементам 1-го столбца. Во 2-й скобке записан нуль по С10, т.к. там записана сумма произведений 2-го столбца на алгебраические дополнения 1-го столбца. Аналогично записана для остальных скобок слева. А справа записано выражение для этого же определителя, первый столбец которого заменен столбцом свободных членов системы. Таким образом получаем равенство x₁ = ₁. Откуда получаем . Теперь можно повторить весь процесс для алгебраических дополнений 2-го столбца. И получим требуемое утверждение теоремы.

Частный случай - однородная система линейных уравнений

всегда имеет решение Х=(0 0...0)^Т, которое называют тривиальным.

Перейдем к другим возможным ситуациям.