Системы линейных алгебраических уравнений

Определение системой линейных алгебраических уравнений называют или в развернутом виде (1)

В дальнейшем будем использовать более короткий термин “линейные системы”. Наиболее компактный вид линейной системы АХ=В, где А = - матрица коэффициентов при неизвестных, которые образуют матрицу-столбец Х= =(х₁ х₂... x_n)^Т,а свободные члены образуют матрицу-столбец В= =(b₁ b₂... b_m)^T.

Как видим, число уравнений в системе не обязательно равно числу неизвестных. При m=n известен из школьного курса математики метод исключения или метод алгебраического сложения для поиска решения этой системы - матрицы-столбца Х, подстановка которого в каждое уравнение обращает это уравнение в верное равенство (тождество). Однако при наличии большого числа уравнений эти методы становятся неприемлемыми с точки зрения объема вычислений. При этом всегда остается вопрос о наличии того, что мы ищем (есть ли вообще искомое решение), а также о количестве таких решений.

Сначала решим вопрос о поиске гарантировано существующего единственного решения.