Решение. 1 Найдем частные производные данной функции:

1 Найдем частные производные данной функции:

Полный дифференциал функции находится по формуле

Тогда .

2 Производная функции в точке по направлению вектора вычисляется по формуле

где , направляющие косинусы вектора

Если то

Тогда

Следовательно,

3 Градиент функции () вычисляется по формуле

Тогда

Вопросы к экзамену

1 Матрицы. Примеры специальных матриц. Арифметические операции над матрицами. Транспонирование матриц.

2 Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

3 Определители 2-го и 3-го порядка, их свойства.

4 Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей по строке (столбцу).

5 Обратная матрица. Построение обратной матрицы. Матричный способ решения СЛАУ.

6 Решения СЛАУ с помощью формул Крамера.

7 Решения СЛАУ методом Гаусса.

8 Теорема Кронекера-Капелли. Базисные решения СЛАУ. Однородные СЛАУ.

9 Векторы. Линейные операции над векторами. Коллинеарность, компланарность векторов. Проекция вектора на ось. Угол между векторами.

10 Линейная зависимость и независимость векторов и линейная комбинация. Базис. Разложение вектора по базису.

11 Декартова прямоугольная система координат. Разложение вектора в ортонормированном базисе. Длина вектора. Направляющие косинусы.

12 Скалярное произведение двух векторов, его свойства. Скалярное произведение векторов, заданных в координатной форме.

13 Различные виды уравнений прямой на плоскости.

14 Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой.

15 Прямая в пространстве. Канонические и параметрические уравнения прямой.

16 Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Угол между двумя плоскостями.

17 Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

18 Числовая последовательность и ее предел. Основные свойства сходящихся последовательностей.

19 Предел функции. Замечательные пределы.

20 Бесконечно малые (б.м.ф.) и бесконечно большие функции (б.б.ф). Свойства б.м.ф. и б.б.ф. Эквивалентные б.м.ф. и их применение при вычислении пределов.

21 Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.

22 Производная функции одной переменной, ее смысл в различных задачах физики, геометрии, экономики.

23 Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал функции одной переменной. Геометрический смысл дифференциала.

24 Таблица производных основных элементарных функций. Основные правила дифференцирования.

25 Производные высших порядков.

26 Экстремумы функции одной переменной. Необходимое условие экстремума.

27 Достаточные условия экстремума функции одной переменной.

28 Выпуклость, вогнутость графика функции. Точки перегиба графика функции.

29 Асимптоты графика функции. Схема исследования функции и построение графика.

30 Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

31 Таблица основных неопределенных интегралов.

32 Интегрирование методом замены переменной и по частям.

33 Определение определенного интеграла, его основные свойства.

34 Формула Ньютона-Лейбница.

35 Вычисление определенного интеграла методом замены переменной и по частям.

36 Несобственные интегралы.

37 Приложения определенного интеграла в экономических задачах.

38 Приближенное интегрирование (формула прямоугольников, трапеций, Симпсона).

39 Определение функции нескольких переменных (ФНП). Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии уровня.

40 Частные производные ФНП. Дифференцируемость ФНП в точке. Дифференциал ФНП.

41 Производная по направлению. Градиент функции.

42 Частные производные и дифференциалы высших порядков ФНП.

43 Экстремум функции нескольких перемененных. Необходимое и достаточные условия существования экстремума.

44 Условный экстремум ФНП. Метод множителей Лагранжа.

45 Метод наименьших квадратов. Случай линейной зависимости.

Список литературы

1 Жевняк, Р. М. Высшая математика: Основы аналитической геометрии и линейной алгебры. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной / Р. М. Жевняк, А. А. Карпук. – Минск: Выш.шк.,1992. – 384 c.

2 Гусак, А. А. Справочник по высшей математике / А. А. Гусак, Г. М. Гусак. – Минск: Навука i тэхнiка, 1991. – 479 c.

3 Белько, И. В. Высшая математика для экономистов. Экспресс-курс / И. В. Белько, К. К. Кузьмич.– М.: Новое знание, 2002. –144 с.

4 Унсович, А. Н. Краткий курс высшей математики для экономистов / А. Н. Унсович.– Барановичи: БНИП, 2000. – 531 с.

5 Минюк С. А. Высшая математика для экономистов / С. А. Минюк, С. А. Самаль, Л. И. Шевченко. – Минск: Элайда, 2003. – Т.1. – 525 c.