Случайная погрешность отдельного измерения

Колебания случайной погрешности, кажущиеся сначала совершенно беспорядочными, тем не менее, подчиняются в статистическом смысле известным законам.

Если показания какого-либо измерительного прибора, являющиеся сами по себе непрерывными, разбить на интервалы определённой ширины и вычислить относительную частоту попадания показаний в отдельные интервалы при повторных измерениях, то можно получить гистограмму.

При достаточно большом значении n это изображение является представительным, т.е. относительная частота стремится к некоторому пределу и перестаёт зависеть от n.

Если имеется достаточно большое число показаний, то можно улучшать гистограмму, уменьшая ширину интервалов . Тогда при предельном переходе и n ступенчатая функция гистограммы переходит в общем случае в непрерывную функцию – плотность распределения (плотность вероятности, дифференциальную функцию распределения) h ()

h () =

Основываясь на определении плотности распределения, можно установить её прямую связь с функцией распределения. Вероятность того, что измеряемое значение попадает в интервал ₁ < x £ x ₂, определяется площадью F, лежащей под графиком плотности распределения вероятности в этом диапазоне:

P ( ₁ < £ ₂) =

В частном случае имеем

P (- < £ + ) =

Часто при обработке результатов измерения представляет интерес вероятность того, что измеренная величина окажется меньше заданного предела ₁:

P () = P ( £ ₁) = .

При - < £ + функция распределения изменяется от 0 до 1. В связи с тем, что функция распределения Р() определяется как интеграл плотности h (), её часто называют также интегральной функцией распределения.

Аналогичным образом определяется вероятность того, что измеренная величина окажется больше, чем ₁:

P ( > ₁) =

Среди множества функций распределения особое место для измерительной техники занимает нормальное распределение (распределение Гаусса).

Плотность вероятности нормального распределения определяется следующим уравнением:

h () = - < £ +

Нормальное распределение характеризуется, кроме математического ожидания , ещё только одним параметром - среднеквадратичным (стандартным) отклонением.

При известном среднеквадратичном отклонении можно вычислить вероятность того, что случайная погрешность Е_аi – отклонение показания отдельного измерения от математического ожидания – будет меньше заданного граничного значения с. Эта вероятность

Р ( £с) = 2

называется доверительной вероятностью (статистической надёжностью).

При известном значении (рис.5.1) можно на основании единственного измерения указать верхнюю и нижнюю границы математического ожидания:

или

Математическое ожидание с доверительной вероятностью Р(%) лежит внутри этих границ. Интервал между этими границами называется доверительным интервалом математического ожидания.

Математическое ожидание определяется следующим образом:

Эта величина соответствует первому моменту плотности распределения – абсциссе центра тяжести площади между зависимостью плотности распределения и осью абсцисс.

Площадь фигуры, очерченной зависимостью , равна единице.

В качестве оценки для используется среднее значение :

Среднеквадратичное отклонение определяется из формулы

Величина , называемая дисперсией, соответствует второму моменту («моменту инерции») плотности распределения вероятностей.

В качестве оценки среднеквадратичного отклонения используется рассеяние S, определяемое по формуле