Тема 4. Взаимное пересечение поверхностей

Целевое назначение: закрепление знаний студентов-заочников решением задач на взаимное пересечение тел вращение и многогранных поверхностей.

По теме 4 необходимо решить одну задачу №9: построить линию пересечения двух поверхностей способом вспомогательных секущих (проецирующих) плоскостей.

Для решения задачи №9 необходимо знать сущность и условия применения способа вспомогательных секущих (проецирующих) плоскостей:

• вводится ряд вспомогательных проецирующих плоскостей, которые пересекают обе поверхности вращения по графически простым линиям (окружность, треугольник, четырехугольник и т.д.);

• графически простые линии одной поверхности пресекаются с графическими простыми линиями другой поверхности: появляются точки пересечения этих линий; эти точки являются общими для обеих поверхностей вращения;

• соединяя общие точки (их должно быть не менее семи!), получают искомую линию пересечения двух поверхностей вращения.

Следует помнить:

при построении линии пересечения двух поверхностей необходимо соблюдать определенную последовательность: вначале определяют опорные (характерные) точки пересечения, затем произвольные (случайные).

6.1. Как выбрать вспомогательную плоскость, чтобы она пересекала тело вращения по графически простой линии?

Для этого необходимо знать получаемый вид сечения плоскостями для различных тел вращения. Например, вид сечений:

1) для конуса Ф_к (рис. 20):

Рисунок 20

Рис. 20,а: Г₂∩Ф_к=окружность;

Рис. 20,б: Ω₂∩Ф_к (через вершину Ф_к)= треугольник;

Рис. 20,в: ∑₁∩Ф_к (через вершину Ф_к)= треугольник.

Вывод: Вспомогательные плоскости Г₂, Ω₂ и ∑₁ (проведены через вершину конуса можно использовать: окружность и треугольник - графически простые линии).

Рис. 20,г: Ω′₂∩Ф_к= эллипс; Ψ₂(Ψ₂ || S₂O₂)∩Ф_к = гипербола; Ω′′₂(Ω′′₂ || S₂А₂)∩Ф_к (параллельно образующей конуса)=парабола; Ф₁∩Ф_к=гипербола и т.д.

Вывод: вспомогательные плоскости Ψ₂, Ω′₂, Ω′′₂, Ф₁, нецелесообразно использовать: эллипс, парабола, гипербола – плоские кривые второго порядка графически сложные линии.

2) для цилиндра Фц (рис. 21):

Рисунок 21

Рис 21,а: Г₂∩Фц=окружность;

Рис. 21,б:∑₁∩Ф_ц=прямоугольник (четырехугольник).

Рис. 21,в: Ψ₁ и Ф₁∩Ф_ц = прямоугольник (четырехугольник).

Вывод: вспомогательные плоскости Г₂, ∑₁, Ψ₁, Ψ₂, Ф₁- можно использовать, т.к. в сечении образуются графически простые линии.

Рис. 21,г: Ω₂∩Ф_ц=эллипс (плоская кривая 2-го порядка графически сложна, для решения задач на пересечении тел вращения - не подходит).

3) для сферы Ф_с (рис. 22). Следует помнить:

Любое сечение сферы есть окружность!

Очень важно, как эта окружность проецируется на другую плоскость проекций:

• Г₂∩Ф_с: на П₂-окружность, на П₁ - окружность;

• Ω₂∩Ф_с: на П₂-окружность, на П₁ -эллипс;

• Ф₁∩Ф_с: на П₁-окружность, на П₂ - окружность;

• ∑₁∩Ф_с: на П₁-окружность, на П₂ - эллипс.

Рисунок 22

Вывод: для построения линии пересечения дух тел вращения, одно из которых сфера, необходимо использовать в качестве вспомогательных плоскостей либо Г₂, либо Ф₁.

Аналогичные рассуждения применимы для тора, глобоида, эллипсоида вращения, параболоида вращения и других тел вращения.

Внимание! Вспомогательная плоскость, которую вы выбрали, должна пересекать обе (!) поверхности вращения по графически простым линиям.

Пример (рис. 23): построить проекции линии пересечения конуса со сферой.

Выбор вспомогательной плоскости:

• Для сферы (рис. 22): либо Г₂, либо Ф₁.

• Для конуса (рис. 20): либо Г₂, либо Ω₂ или ∑₁ (через вершину конуса).

Вывод: совпадает Г₂ ;в качестве вспомогательной плоскости принимаем горизонтальную плоскость уровня Г(Г₁, Г₂).

Решение:

1. S₂C₂∩Ф_с=А₂, В₂; А₁,В₁

А₂-высшая, В₂-левая, низшая

2.Из О′₂: n ^ S₂D₂=K₂

3.Через К₂: Г₂, Г₂∩Фк=m₂^к

Г₂∩Ф_с=m₂^с

m ₂^к и m₂^с-окружности

сечения конуса и сферы

4.R_к окружности m₂^к:m₁^к

R_c окружности m₂^с:m₁^с

5.m₁^к∩m₁^с=M₁;М₂

М(М₁,М₂)- правая; точка

перегиба линии пересе-

чения.

6.Намечают семейство

Г(Г′₂,Г′′₂,…)- не менее

семи точек и аналогично

т. М(М₁,М₂) получают

1(1₁,1₂), 2(2₁,2₂), 3(3₁,3₂)

и 4(4₁,4₂).

7.А1М234В432М1А-

искомая линия пересечения

конуса и сферы.

Рисунок 23

Варианты задачи №9 по теме 4 представлены в приложении 8, а образец решенной задачи по теме 4 – в приложении 9.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Единая система конструкторской документации. – М.:ИПК Издательство стандартов, 2004. – 160 с.: ил.

2. Яламов В.Ф. Краткий курс начертательной геометрии: Учебное пособие / В.Ф. Яламов. Азово-Черном. госуд. агроинжен. акад. – Зерногорад: АЧГАА; Ростов: "Терра", 2005. – 208 с.; ил.

3. Яламов В.Ф., Бондаренко А.М., Щербина В.И. Начертательная геометрия: Учебное пособие для самостоятельной работы студентов по дисциплине ОПД.Ф.01.(01) – Начертательная геометрия. – Зерноград, ФГОУ ВПО АЧГАА, 2005. – 83 с.: ил.

4. Локтев О.В. Краткий курс начертательной геометрии: Учеб. для втузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2001. – 136 с.: ил.

5. Чекмарев А.А. Инженерная графика: Учеб. для немаш. спец. вузов. – 3-е изд. стер. – М.: Высш. шк., 2000. – 365 с.: ил.

6. Лагерь А.И. Курс инженерной графики: Учебник для вузов. – М.: РИЦ "Татьянин день", 1995. – 251 с.: ил.

Приложение 1. Варианты заданий по теме 1.

Задача №1. Построить недостающие проекции точек и прямых.

Примечание. При решении задачи своего варианта условие задачи необходимо перечертить в масштабе увеличения (≈М 2:1) с возможным соблюдением углов линий и плоскостей.

Приложение 2. Варианты заданий по теме 1.

Задача №2. Построить линию пересечения двух плоскостей.

Примечание. При решении задачи своего варианта условие задачи необходимо перечертить в масштабе увеличения (≈М 2:1) с возможным соблюдением углов линий и плоскостей.

Приложение 3. Варианты заданий по теме 1.

Задача №3. Используя метод прямоугольного треугольника, определить:

а) недостающую проекцию отрезка АВ и углы наклона его α и β к плоскостям проекций П₁ и П₂, если известна натуральная величина отрезка АВ (рис. а);

б) недостающую проекцию отрезка СD и угол наклона его β к плоскости проекций П₂, если известен угол α=СD^П₁ (рис. б);

в) недостающую проекцию и н.в. отрезка КМ и угол наклона его α к плоскости проекций П₁, если известен угол β=КМ^П₂ (рис. в).

	Варианты
								9 и 0
Нат. вел. АВ		-	-		-	-		-	-
α=СD^П1	-	-	60˚	-	-	30˚	-	45˚	-
β=КМ^П2	-	30˚	-	-	45˚	-	-	-	60˚
Рисунок	а	в	б	а	в	б	а	б	в

Примечание. При решении задачи своего варианта условие задачи необходимо перечертить в масштабе увеличения (≈М 2:1) с соблюдением угла наклона отрезков (А₂В₂, С₁D₁ и К₂М₂≈20˚).

Приложение 4. Варианты заданий по теме 1.

Задача №4. Определить точку пересечения прямой с плоскостью.

Угол наклона прямой l′(l1′,l2′) к оси Ох	Варианты
								9 и 0
α′	30˚	40˚	45˚	30˚	60˚	45˚	35˚	55˚	30˚
β′	15˚	30˚	15˚	30˚	15˚	30˚	45˚	20˚	45˚

Координаты точек плоскости Θ (АВС) и т. D(D1,D2)		Для всех вариантов
А	В	С	D	l(l1,l2)
х					l2 ^Ох= β′ l1 ^хО= α′
у
z

Приложение 5. Схема расположения задач (1-4) по теме 1 на листе формата А3.

Приложение 6. Варианты заданий по теме 2.

"Метод замены плоскостей проекций"

Задача №5 Определить натуральную величину треугольника АВС	Задача №6 Построить проекции и натуральную величину перпендикуляра, опущенного из точки S(S1, S2) на плоскость Θ(АВС)	Задача №7 Определить натуральную величину двугранного угла АВСS при ребре АВ

Вар.	Коорд.	А	В	С	S	Вар.	Коорд.	А	В	С	S
	х у z						х у z
	х у z						х у z
	х у z						х у z
	х у z						х у z
	х у z						х у z

Приложение 7. Варианты заданий по теме 3.

Задача №8. Построить проекции и натуральную величину сечения плоскостью данной поверхности и полную развертку призмы (или пирамиды) с нанесением линии сечения.

Приложение 8. Варианты заданий по теме 4.

Задача №9. Построить линию пересечения двух поверхностей способом вспомогательных проецирующих плоскостей.

Приложение 9. Образцы оформления выполненных

задач контрольной работы.