Тема 1. Точка, прямая, плоскость

Целевое назначение: закрепление знаний студентов – заочников решением задач на взаимное расположение в пространстве точек, прямых и плоскостей.

По теме 1. необходимо решить следующие задачи:

1) построить недостающие проекции точек и прямых (приложение 1);

2) построить линию пересечения двух плоскостей (приложение 2);

3) определить недостающие проекции отрезка и углы его наклона к плоскостям проекций П₁ и П₂(приложение 3);

4) определить точку пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения (приложение 4).

Чтобы успешно решить заданные задачи, необходимо знать:

3.1. Как построить проекции точки по заданным координатам?

Пример (рис. 2): Дано: А (50; 30; 25);А1 иА2 -? Решение: 1. По оси Ох – 50мм. 2. По оси Оу – 30мм. 3. По оси Oz – 25мм. 4. На пересечении вертикальной и горизонтальных линий – А1 и А2.

Рисунок 2

3.2. Как на заданной прямой построить точку,

принадлежащую этой прямой?

Необходимо использовать правило:

точка принадлежит прямой ( А Ì ℓ ), если проекции точки лежат на одной линии связи на одноименных проекциях этой прямой.

Пример (рис. 3): Дано: ℓ (ℓ1, ℓ2); АÌℓ -? Решение: 1. На ℓ2 произвольно А2. 2. Из А2: верт. линия связи ^ П2/П1 3. в.л.с. ∩ ℓ1=А1 4. АÌℓ, т.к. А1Ìℓ1, А2ÌА2

Рисунок 3

3.3. Как построить прямую, принадлежащую заданной плоскости?

Необходимо использовать правило:

прямая принадлежит плоскости ( ℓ Ì Θ), если она (прямая) проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости.

Пример (рис. 4): Дано: Θ (АВС); ℓÌΘ (АВС) -? Решение: 1 (11), 2(21) – произвольно, 11ÌА1С1; 21ÌВ1С1. Из 11: в.л.с. ∩ А2С2= 12 Из 21: в.л.с. ∩ В2С2= 22 11 U 21 = ℓ1; 12 U 22 =ℓ2 ℓÌΘ (АВС)

Рисунок 4

3.4. Как построить точку, принадлежащую заданной плоскости?

Необходимо использовать правило: