Тема 2. Метод замены плоскостей проекций

Целевое назначение: закрепление знаний студентов - заочников решением задач на преобразование:

· прямой общего положения в прямую уровня;

· прямой уровня в проецирующую прямую;

· плоскости общего положения в проецирующую плоскость;

· проецирующей плоскости в плоскость уровня.

По теме 2 необходимо решить следующие задачи:

1) определить натуральную величину плоской фигуры (треугольник АВС);

2) построить проекции и натуральную величину перпендикуляра, опущенного из точки S(S₁,S₂) на плоскость Θ(АВС);

3) определить натуральную величину двугранного угла АВСS при ребре АВ.

Чтобы успешно решить указанные задачи студенту-заочнику необходимо знать:

4.1. Как преобразовать прямую общего положения в прямую уровня?

Необходимо использовать правило:

Чтобы преобразовать прямую общего положения в прямую уровня (h или f), необходимо новую плоскость проекций располагать параллельно одной из проекций заданной прямой линии.

Пример (рис. 12): Дано: ℓ (АВ); |АВ| -? Решение: 1. П4 ||А1В1 – н.п.п. 2. П1/П4 – н.с.п.п. 3. Из А1 и В1: н.л.с. ^П4 4. П2/П1(б.о.) – ось проекций 5. от П1 (П2/П1): ΔZВ = (׳), ΔZА = (״) 6. От П1(П1/П4) на н.л.с.: ΔZА и ΔZВ = А4 и В4. 7. А4 U В4 = ℓ4(А4 В4); А4В4 – н.в. АВ. 8. В н.с.п.п. П1/П4: ℓ(ℓ1, ℓ4) – прямая уровня. 9. α = АВ^П1.

Рисунок 12

Внимание!

· н.п.п. – новая плоскость проекций;

· н.с.п.п. – новая система плоскостей проекций;

· н.л.с. – новые линии связи;

· П₂/П₁ (б.о.) – база отсчета.

4.2. Как преобразовать прямую уровня в проецирующую прямую?

Необходимо использовать правило:

Чтобы преобразовать прямую уровня в проецирующую прямую, необходимо новую плоскость проекций располагать перпендикулярно к натуральной величине заданной прямой уровня.

Пример (рис. 13): Дано: f(АВ); f5 –? Решение: 1. П5^f2 – н.п.п. 2. П2/П5 – н.с.п.п. 3. Из А2 и В2: н.л.с.^П5 4. П2/П1 (б.о.) 5. От П2(П2/П1): ΔYА = ΔYВ = (׳). 6. От П2 (П2/П5) на н.л.с.: ΔYА = ΔYВ = А5≡В5.(f5) 7. В н.с.п.п. П2/П5: f(f2,f5) – проецирующая прямая

Рисунок 13

.

4.3. Как преобразовать плоскость общего положения в проецирующую?

Необходимо использовать правило:

Чтобы преобразовать плоскость общего положения в проецирующую, необходимо плоскость общего положения представить как множество прямых уровней, которые в новой системе плоскостей проекций переходят в проецирующие прямые: множество проецирующих прямых (точек) дадут «вырожденную» в прямую (проецирующую) плоскость.

Пример (рис. 14): Дано: Θ(АВС); Θ4^П4 -? Решение: 1. h2(А212), h1(А111) 2. П4^h1, П1/П4 – н.с.п.п. 3. Из А1, В1 и С1: н.л.с.^П4. 4. П2/П1 (б.о.) 5. От П1: ΔZс(׳), ΔZА(״), ΔZВ(׳״) 6. От П1 (П1/П4) на н.л.с.:С4, А4 иВ4; Θ4(А4В4С4). 7. В н.с.п.п. П1/П4: Θ(Θ1,Θ4) – искомая проецирующая плоскость 8. α = Θ(АВС) ^П1.

Рисунок 14

4.4. Как преобразовать проецирующую плоскость в плоскость уровня?

Необходимо использовать правило:

Чтобы преобразовать проецирующую плоскость в плоскость уровня, необходимо новую плоскость проекций (П₄ или П₅) располагать

параллельно линии, в которую проецируется данная плоскость:

· если дана ∑(∑_1, ∑₂), то П₄ || ∑₁

· если дана Ω(Ω_1, Ω₂), то П₅ || Ω₂

Пример (рис. 15):

Дано Σ(Σ₁, Σ₂); Σ₄ ≡ П₄ -?

Решение:

1. П₄ || Σ₁, П₁/П₄ – н.с.п.п.

2. Из А₁В₁ и С₁: н.л.с. ^ П₄

3. П₂/П₁ (б.о.)

4. От П₁: ΔZс(׳), ΔZ_А(״), ΔZ_В(׳״)

5. От П₁ (П₁/П₄) на н.л.с.:С₄, А₄ иВ₄

6. Σ₄ (А₄В₄С₄)

7. В н.с.п.п. П₁/П₄: Σ(Σ₁, Σ₄) –

искомая плоскость уровня

8. Фигура А₄В₄С₄ – н.в. ΔАВС

Рисунок 15

Варианты задач 5, 6, 7 по теме 2 представлены в приложении 6, а образцы выполненных задач по теме 2 – в приложении 9.

Рассмотрев методы и характер решения примеров 4.1 – 4.4, студент-заочник может приступить к решению задач 5, 6, 7 своего варианта.

При этом следует придерживаться следующего плана решения задач:

а) задача №5:

● провести горизонталь h(h₂, h₁);

● провести новую плоскость проекций - П₄ ^ h₁, получить Θ₄;

● новую плоскость проекций – П₅ || Θ₄.

б) задача №6:

● провести горизонталь h(h₂, h₁);

● провести новую плоскость проекций - П₄ ^ h₁, получить Θ₄;

● из точки S(S₁,S₄) опустить перпендикуляр n₄ ^ Θ₄;

в) задача №7:

● провести новую плоскость проекций - П₄ || А₁В₁;

● к н.в. АВ провести плоскость П₅ ^ А₄В₄.