Пример 6.Преобразовать волновое уравнение

к новым переменным и решить его.

Решение. Задача состоит в переходе .

Действуем по знакомой схеме. Основное тождество дифференцируем сначала по переменной , затем по переменной :

У нас Поэтому

Продолжаем дифференцирование:

Подставляя вычисленные производные в волновое уравнение, получим

. (**)

Это уравнение легко интегрируется:

– то есть функция не зависит от аргумента .

Далее: . Значит, функция – решение уравнения (**) – представляется в виде суммы . Здесь и – произвольные дифференцируемые функции. Возвращаясь к старым переменным, получаем общий вид решения волнового уравнения:

. ☻

Напомним, что график функции получается из графика функции сдвигом вправо (влево) на при .

Пусть – сдвиг по оси , – время, тогда – скорость . Значит, функция представляет собой волну , бегущую по оси вправо со скоростью (прямую волну), а функция – волну , бегущую влево со скоростью (обратную волну).