Частные производные

Содержание

	Частные производные
	Старшие производные
	Дифференциал функции
	Дифференцирование сложных функций
	Дифференцирование неявных функций
	Производная по направлению. Градиент
	Формула Тейлора для функции двух переменных
	Экстремум функции двух переменных
	Наибольшее и наименьшее значение функции
	Условный экстремум
	Замена переменных в дифференциальных выражениях
	Литература

Частные производные

Пусть в области задана функция ; . Придадим независимым переменным приращения соответственно, так чтобы точка .

Назовём полным приращением функции в точке разность

, .

Наряду с полным приращением функции рассматривают частные приращения. Зафиксируем аргумент и придадим приращение аргументу . Частное приращение функции по переменной – это разность

.

Если существует предел , то он называется частной производной функции по переменной в точке и обозначается одним из символов :

Таким образом, при вычислении частной производной функции по переменной у этой функции фиксируют переменную , при этом получают функцию только одной переменной , для которой и определяют первую производную.

Аналогично определяется частное приращение функции по переменной – это разность

.

Если существует предел , то он называется частной производной функции по переменной в точке и обозначается одним из символов :

При вычислении частных производных функции трёх и более переменных фиксируют все переменные, кроме одной, и дифференцируют полученную функцию одной переменной.

Частные производные вычисляются по тем же правилам, что и обыкновенные.

Пример 1. Найти частные производные по всем переменным следующих функций:

а) , б) , в)

Решение. а) Фиксируем переменную и дифференцируем функцию по переменной :

.

Фиксируем и дифференцируем функцию по переменной :

.

б) Дифференцируем функцию по переменной при фиксированных переменных и :

.

Дифференцируем функцию по переменной при фиксированных , :

.

Наконец, фиксируем , и дифференцируем функцию по :

.

в) , , . ☻