Независимость аксиомы существования отрезка заданной длины

Теорема 3. Аксиома существования отрезка заданной длины независима, то есть не может быть получена как следствие остальных аксиом евклидовой геометрии.

Доказательство. Обозначим через совокупность действительных чисел, которые содержат все рациональные числа, а так же все числа, которые получаются из рациональных с помощью конечного числа действий сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня. Числа не исчерпывают все действительные числа.

Построим теперь декартову реализацию системы аксиом тем же способом, что и раньше, но будем использовать числа из . Например, точкой назовем пару чисел из . Прямой – совокупность точек, которые удовлетворяют уравнению с коэффициентами а, в, с из и т. д. Проверяя выполнимость аксиом, мы слово в слово повторим все доказательства всех аксиом, кроме аксиомы существования отрезка заданной длины. Эта аксиома в данной реализации не будет выполнена. Действительно, длина отрезка с концами в данной реализации вычисляется по формуле .

Числа , тогда и . Но тогда найдется такое действительное число, которому в данной реализации нет отрезка.

Например, в данной реализации нет отрезка длины .

Таким образом, аксиома существования отрезка заданной длины независима от других аксиом евклидовой геометрии.