![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
В евклидовой геометрии расстояние между параллельными прямыми есть величина постоянная. Это свойство на плоскости Лобачевского не сохраняется.
Теорема 1. Две параллельные прямые на плоскости Лобачевского асимптотически приближаются со стороны их параллельности и бесконечно расходятся в противоположную сторону.
Доказательство. Пусть . Возьмем
и проведем
(рис. 25).
Пусть - произвольное сколь угодно малое число. Отложим на
отрезок
. Возьмем произвольную точку
на отрезке
и через эту точку проведем прямую
в противоположных направлениях. Тогда по свойству транзитивности параллельности
. Поскольку точка
лежит ниже чем точка М и прямая
образует с
острый угол (как угол параллельности), то
пересекает
в некоторой точке
. Откладываем на прямой
вправо
и проведем
. Тогда
по первому признаку равенства треугольников (
по построению,
- общая,
как углы параллельности). Отсюда выходит, что
.
Итак, каким бы ни было малым число , существует такая точка
на прямой
, что
то есть прямые
асимптотически приближаются в сторону их параллельности.
Аналогично можно доказать, что прямые бесконечно расходятся в направлении, противоположном направлению параллельности.
На евклидовой плоскости две параллельные прямые имеют бесчисленное множество общих перпендикуляров. На плоскости Лобачевского имеет место такая теорема.
Теорема 2. На плоскости Лобачевского сходящиеся и параллельные прямые не имеют общего перпендикуляра, а расходящиеся прямые имеют лишь один общий перпендикуляр.
Доказательство. Допустим, что некоторые две прямые имеют общий перпендикуляр
(рис 26). Эти прямые не могут быть сходящимися, тогда бы существовали треугольники с двумя прямыми углами, что противоречит абсолютной геометрии.
Эти прямые не могут быть и параллельными, ибо тогда углы параллельности были бы прямыми, что в геометрии Лобачевского не возможно. Итак, если прямые имеют общий перпендикуляр, то они могут быть только расходящимися.
Покажем, что расходящиеся прямые имеют лишь один общий перпендикуляр. Допустим, что прямые , кроме
, имеют еще один общий перпендикуляр
(рис. 26).
Тогда сумма углов четырехугольника равна
, это эквивалентно
постулату, который в геометрии Лобачевского не выполняется. Получили противоречие. Итак, если расходящиеся прямые имеют общий перпендикуляр, то этот перпендикуляр один.
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 2852 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!