Свойства прямых на плоскости Лобачевского

В евклидовой геометрии расстояние между параллельными прямыми есть величина постоянная. Это свойство на плоскости Лобачевского не сохраняется.

Теорема 1. Две параллельные прямые на плоскости Лобачевского асимптотически приближаются со стороны их параллельности и бесконечно расходятся в противоположную сторону.

Доказательство. Пусть . Возьмем и проведем (рис. 25).

Пусть - произвольное сколь угодно малое число. Отложим на отрезок . Возьмем произвольную точку на отрезке и через эту точку проведем прямую в противоположных направлениях. Тогда по свойству транзитивности параллельности . Поскольку точка лежит ниже чем точка М и прямая образует с острый угол (как угол параллельности), то пересекает в некоторой точке . Откладываем на прямой вправо и проведем . Тогда по первому признаку равенства треугольников ( по построению, - общая, как углы параллельности). Отсюда выходит, что .

Итак, каким бы ни было малым число , существует такая точка на прямой , что то есть прямые асимптотически приближаются в сторону их параллельности.

Аналогично можно доказать, что прямые бесконечно расходятся в направлении, противоположном направлению параллельности.

На евклидовой плоскости две параллельные прямые имеют бесчисленное множество общих перпендикуляров. На плоскости Лобачевского имеет место такая теорема.

Теорема 2. На плоскости Лобачевского сходящиеся и параллельные прямые не имеют общего перпендикуляра, а расходящиеся прямые имеют лишь один общий перпендикуляр.

Доказательство. Допустим, что некоторые две прямые имеют общий перпендикуляр (рис 26). Эти прямые не могут быть сходящимися, тогда бы существовали треугольники с двумя прямыми углами, что противоречит абсолютной геометрии.

Эти прямые не могут быть и параллельными, ибо тогда углы параллельности были бы прямыми, что в геометрии Лобачевского не возможно. Итак, если прямые имеют общий перпендикуляр, то они могут быть только расходящимися.

Покажем, что расходящиеся прямые имеют лишь один общий перпендикуляр. Допустим, что прямые , кроме , имеют еще один общий перпендикуляр (рис. 26).

Тогда сумма углов четырехугольника равна , это эквивалентно постулату, который в геометрии Лобачевского не выполняется. Получили противоречие. Итак, если расходящиеся прямые имеют общий перпендикуляр, то этот перпендикуляр один.