Предмет основания геометрии

В геометрии весь материал излагается в виде строгой последовательности четко сформулированных утверждений – определений и теорем.

Теоремой называется утверждение, истинность которого устанавливается с помощью доказательства, то есть рассуждений, основанных на законах логики.

Определения – это утверждения, в которых объясняется смысл того или иного понятия.

В курсе геометрии все теоремы располагаются в определенной последовательности. При доказательстве n-й теоремы как аргумент используются (n-1) ранее доказанные утверждения. При доказательстве (n-1)-й теоремы используются (n-2) предыдущие утверждения и т. д. Этот процесс не бесконечен. Через конечное число шагов придем к утверждениям, для обоснования которых не будет предыдущих утверждений.

Поэтому для того, чтобы можно было проводить доказательство теорем, некоторые утверждения берутся без доказательств. Такие утверждения называются аксиомами. Тогда, исходя из аксиом, с помощью логических операций переходят от одной теоремы к другой.

Аналогично выполняется для понятий и их определений. Обычное определение состоит в том, что определяемое понятие разъясняется через другие, можно сказать, к ним сводится. Но нельзя сводить одни понятия к другим до бесконечности. Поэтому должны быть исходные понятия, которые принимаются без предварительных определений и называют основными понятиями. Все, что от них требуется, высказывается в аксиомах.

Таким образом, аксиоматическое построение геометрии осуществляется по схеме:

1.Вводятся основные понятия.

2.Задается система аксиом, которая определяет основные понятия.

3.С помощью основных понятий определяются новые понятия, а на основе аксиом доказываются новые утверждения как теоремы.

Перечень основных понятий и аксиом, достаточных для строгого логичного определения всех остальных понятий и доказательства всех утверждений, называется обоснованиями геометрии.

При этом возникают вопросы:

1.Какие понятия взять за основные?

2.Какие утверждения взять за аксиомы?

3.Как надо осуществить выбор основных понятий и аксиом, чтобы с помощью логических операций охватить всю геометрическую теорию?

На все эти вопросы дает ответы наука, которая называется основания геометрии.