Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка

Многие задачи механики и физики приводят к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка. Например:

1) при изучении различных видов волн − упругих, звуковых, электромагнитных, а также других колебательных явлений мы приходим к волновому уравнению:

− уравнение распространения волн в стержне;

− уравнение распространения волн в плоской пластине;

− уравнение распространения волн в пространстве,

где а − скорость распространения волн в данной среде;

2) процессы распространения тепла в однородном изотропном теле, так же как и явления диффузии, описываются уравнением теплопроводности:

− уравнение распространения тепла в стержне;

− уравнение распространения тепла в плоской пластине;

− уравнение распространения тепла в пространстве,

3) при рассмотрении установившегося теплового состояния в однородном изотропном теле мы приходим к уравнению Пуассона

.

При отсутствии источников тепла внутри тела данное уравнение переходит в уравнение Лапласа

.

Приведенные уравнения называют основными уравнениями математической физики. Их подробное изучение дает возможность построить теорию широкого круга физических явлений и решить ряд физических и технических задач.

Функция , удовлетворяющая какому-либо из приведенных уравнений, называется его решением.