|
| | Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:
|
| | 515.1
| ее оси 2a=10 и 2b=8;
|
| | 515.2
| расстояние между фокусами 2c=10 и ось 2b=8;
|
| | 515.3
| расстояние между фокусами 2c=6 и эксцентриситет e=3/2;
|
| | 515.4
| ось 2a=16 и эксцентриситет e=5/4;
|
| | 515.5
| уравнения асимптот  и расстояние между фокусами 2c=20;
|
| | 515.6
| расстояние между директрисами равно 228/13 и расстояние между фокусами 2c=26;
|
| | 515.7
| расстояние между директрисами равно 32/5 и ось 2b=6;
|
| | 515.8
| расстояние между директрисами равно 8/3 и эксцентриситет e=3/2;
|
| | 515.9
| уравнения асимптот  и расстояние между директрисами равно 64/5;
|
|
| | Составить уравнение гиперболы, фокусы которого расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:
|
| | 516.1
| ее полуоси a=6, b=18 (буквой а мы обозначаем полуось гиперболы, расположенной на оси абсцисс);
|
| | 516.2
| расстояние между фокусами 2с=10 и эксцентриситет e=5/3;
|
| | 516.3
| уравнения асимптот  и расстояние между вершинами равно 48;
|
| | 516.4
| расстояние между директрисами равно 50/7 и эксценриситет e=7/5;
|
| | 516.5
| уравнения асимптот и расстояние между директрисами равно 32/5.
|
|
| | Определить полуоси а и b каждой из следующих гипербол:
|
| | 517.1
|  ;
|
| | 517.2
|  ;
|
| | 517.3
|  ;
|
| | 517.4
|  ;
|
| | 517.5
|  ;
|
| | 517.6
|  ;
|
| | 517.7
|  .
|
|
| | Дана гипербола  . Найти: полуоси а и b, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения директрис.
|
|
| | Дана гипербола . Найти: полуоси а и b, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения директрис.
|
|
| | Вычислить площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы  и прямой  .
|
|
| | Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.
|
| | 521.1
|  ;
|
| | 521.2
|  ;
|
| | 521.3
|  ;
|
| | 521.4
|  .
|
|
| | Дана точка M1(10;  ) на гиперболе  . Составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки М1.
|
|
| | Убедившись, что точка М1(-5; 9/4) лежит на гиперболе  , определить фокальные радиусы точки М1.
|
|
| | Эксцентриситет гиперболы e=2, фокальный радиус ее точки М, проведенный из некоторого фокуса, равен 16.
 Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы.
|
|
| | Эксцентриситет гиперболы e=3, расстояние от точки М гиперболы до директрисы e=3, расстояние от точки М гиперболы до директрисы равно 4. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой.
|
|
| | Эксцентриситет гиперболы e=2, центр ее лежит в начале координат, один из фокусов F(12; 0). Вычислить расстояние от точки М1 гиперболы с абсциссой, равной 13, до директрисы, соответствующей заданному фокусу.
|
|
| | Эксцентриситет гиперболы e=3/2, центр ее лежит в начале координат, одна из директрис дана уравнением x=-8. Вычислить расстояние от точки М1 гиперболы с абсциссой, равной 10, до фокуса, соответствующего заданной директрисе.
|
|
| | Определить точки гиперболы  , расстояние от которых до правого фокуса равно 4,5.
|
|
| | Определить точки гиперболы  , расстояние которых до левого фокуса равно 7.
|
|
| | Через левый фокус гиперболы  проведен перпендикуляр к ее оси, содержащей вершины. Определить расстояние от фокусов до точек пересечения этого перпендикуляра с гиперболой.
|
|
| | Пользуясь одним циркулем, построить фокусы гиперболы  (считая, что оси координат изображены и масштабная единица задана).
|
|
| | Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:
|
| | 532.1
| точки M1(6; -1), M2(-8;  ) гиперболы;
|
| | 532.2
| точка М1(-5; 3) гиперболы и эксцентриситет e=  ;
|
| |
532.3
| точка М1(9/2; -1) гиперболы с уравнения асимптот  ;
|
| |
532.4
| точка М1(-3; 5/2) гиперболы и уравнения директрис  ;
|
| | 532.5
| уравнения асимптот и уравнения директрис  .
|
|
| | Определить эксцентриситет равносторонней гиперболы.
|
|
| | Определить эксцентриситет гиперболы, если отрезок между ее вершинами виден из фокусов сопряженной гиперболы под углом 600.
|
|
| | Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса  . Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет e=2.
|
|
| | Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах эллипса  , а директрисы проходят через фокусы этого эллипса.
|
|
| | Доказать, что расстояние от фокуса гиперболы  до ее асимптоты равно b.
|
|
| | Доказать, что произведение расстояний от любой точки гиперболы до двух ее асимптот есть величина постоянная, равная  .
|
|
| | Доказать, что площадь параллелограмма, ограниченного асимптотами гиперболы и прямыми, проведенными через любую ее точку параллельно асимптотами, есть величина постоянная, равная ab/2.
|
|
| | Составить уравнение гиперболы, если известны ее полуоси a и b, центр C(x0; y0) и фокусы расположены на прямой:
|
| | 540.1
| параллельной оси Ox;
|
| | 540.2
| параллельной оси Oy.
|
|
| | Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис:
|
| | 541.1
|  ;
|
| | 541.2
|  ;
|
| | 541.3
|  .
|
|
| | Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.
|
| | 542.1
|  ;
|
| | 542.2
|  ;
|
| | 542.3
|  ;
|
| | 542.4
|  .
|
|
| | Составить уравнение гиперболы, зная, что:
|
| | 543.1
| расстояние между ее вершинами равно 24 и фокусы суть F1(-10; 2), F2(16; 2);
|
| | 543.2
| фокусы суть F1(3; 4), F2(-3; -4) и расстояние между директрисами равно 3,6;
|
| | 543.3
| угол между асимптотами равен 900 и фокусы суть F1(4; -4), F2(-2; 2).
|
|
| | Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет e=5/4, фокус F(5; 0) и уравнение соответствующей директрисы  .
|
|
| | Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет e=13/12, фокус F(0; 13) и уравнение соответствующей директирсы  .
|
|
| | Точка А(-3; -5) лежит на гиперболе, фокус которой F(-2; -3), а соответствующая директриса дана уравнением  . Составить уравнение этой гиперболы.
|
|
| | Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет e=  , фокус F(2; -3) и уравнение соответствующей директрисы  .
|
|
| | Точка М1(1; -2) лежит на гиперболе, фокус которой F(-2; 2), а соответстующая директриса дана уравнением  . Составить уравнение этой гиперболы.
|
|
| | Дано уравнение равносторонней гиперболы  . Найти ее уравнение в новой системе, приняв за оси координат ее асимптоты.
|
|
| | Установив, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, найти для каждой из них центр, полуоси, уравнения асимптот и построить их на чертеже:
|
| | 550.1
|  ;
|
| | 550.2
|  ;
|
| | 550.3
|  .
|
|
| | Найти точку пересечения прямой  и гиперболы  .
|
|
| | Найти точки пересечения прямой  и гиперболы  .
|
|
| | Найти точки пересечения прямой  и гиперболы .
|
|
| | В следующих случаях определить, как расположена прямая относительно гиперболы: пересекает ли, касается или проходит вне ее:
|
| | 554.1
|  ,  ;
|
| | 554.2
|  , ;
|
| | 554.3
|  , .
|
|
| | Определить, при каких значениях m прямая  :
|
| | 555.1
| пересекает гиперболу  :
|
| | 555.2
| касается ее;
|
| | 555.3
| проходит вне этой гиперболы.
|
|
| | Вывести условие, при котором прямая  касается гиперболы .
|
|
| | Составить уравнение касательной к гиперболе в ее точке M1(x1; y1).
|
|
| | Доказать, что касательные к гипербле, проведенные в концах одного и того же диаметра, параллельны.
|
|
| | Составить уравнения касательных к гиперболе , перпендикулярных к прямой  .
|
|
| | Составить уравнения касательных к гиперболе  , параллельных прямой  .
|
|
| | Провести касательные к гиперболе  параллельно прямой  и вычислить расстояние d между ними.
|
|
| | На гиперболе  найти точку М1, ближайшую к прямой  , и вычислить расстояние d от точки М1 до этой прямой.
|
|
| | Составить уравнение касательной к гиперболе  , проведенных из точки А(-1; -7).
|
|
| | Из точки С(1; -10) проведены касательные к гиперболе  . Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.
|
|
| | Из точки Р(1; -5) проведены касательные к гиперболе  . Вычислить расстояние d от точки Р до хорды гиперболы, соединяющей точки касания.
|
|
| | Гипербола проходит через точку А( ; 3) и касается прямой  . Составить уравнение этой гиперболы при условии, что ее оси совпадают с осями координат.
|
|
| | Составить уравнение гиперболы, касающейся прямых  ,  , при условии, что ее оси совпадают с осями координат.
|
|
| | Убедившись, что точки пересечения эллипса  и гиперболы являются вершинами прямоугольника, составить уравнения его сторон.
|
|
| | Даны гиперболы  и какая-нибудь ее касательная, Р – точка пересечения касательной с осью Ох, Q – проекция точки касания на ту же ось. Доказать, что  .
|
|
| | Доказать, что фокусы гиперболы расположены по разные стороны от любой ее касательной.
|
|
| | Доказать, что произведение расстояний от фокусов до любой касательной к гиперболе есть величина постоянная, равная b2.
|
|
| | Прямая  касается гиперболы, фокусы которой находятся в точках F1(-3; 0), F2(3; 0). Составить уравнение этой гиперболы.
|
|
| | Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если известны уравнение касательной к гиперболе  и расстояние между ее вершинами 2а=8.
|
|
| | Доказать, что прямая, касающаяся гиперболы в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальными радиусами F1M, F2M и проходит внутри угла F1MF2.
|
|
| | Из правого фокусы гиперболы  под углом  ( < <  ) к оси Ох направлен луч света. Известно, что  . Дойдя до гиперболы, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.
|
|
| | Доказать, что эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы, пересекаются под прямым углом.
|
|
| | Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Ох равен 4/3. Определить уравнение линии, в котороую при этом сжатии преобразуется гипербола .
|
|
| | Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Оу равен 4/5. Определить уравнение линии, в которую при этом сжатии преобразуется гипербола  .
|
|
| | Найти уравнение линии, в которую преобразуется гипербола  при двух последовательных равноменых сжатиях плоскости к координатным осям, если коэффициенты равномерного сжатия плоскости к осям Ох и Оу соответствуют 2/3 и 5/3.
|
|
| | Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Ох, при котором гипербола  преобразуется в гиперболу .
|
|
| | Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Оу, при котором гипербола преобразуется в гиперболу .
|
|
| | Определить коэффициенты q1, q2 двух последовательных равномерных сжатий плоскости к осям Ох и Оу, при которых гипербола  преобразуется в гиперболу  .
|
