|
| | Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:
|
| | 444.1
| его полуоси ранвы 5 и 2;
|
| | 444.2
| его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8;
|
| | 444.3
| его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2c=10;
|
| | 444.4
| расстояние между его фокусами 2c=6 и эксцентриситет e=3/5.
|
| | 444.5
| его большая ось равна 20, а эксцентриситет e=3/5.
|
| | 444.6
| его малая ось равна 10, а эксцентриситет e=12/13;
|
| | 444.7
| расстояние между его директрисами равно 5 и расстояние между фокусами 2c=4;
|
| | 444.8
| его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16;
|
| | 444.9
| его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами равно 13;
|
| | 444.10
| расстояние между его директрисами равно 32 и e=1/2.
|
|
| | Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично начала координат, зная, кроме того, что:
|
| | 445.1
| его полуоси равны соответственно 7 и 2;
|
| | 445.2
| его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8;
|
| | 445.3
| расстояние между его фокусами 2c=24 и эксцентриситет e=12/13.
|
| | 445.4
| его малая ось равна 16, а эксцентриситет e=3/5.
|
| | 445.5
| расстояние между его фокусами 2c=6 и расстояние между директрисами равно 50/3;
|
| | 445.6
| расстояние между его директрисами равно 32/3 и эксцентриситет e=3/4.
|
|
| | Определить полуоси каждого из следующих эллипсов:
|
| | 446.1
|  ;
|
| | 446.2
|  ;
|
| | 446.3
|  ;
|
| | 446.4
|  ;
|
| | 446.5
|  ;
|
| | 446.6
|  ;
|
| | 446.7
|  ;
|
| | 446.8
|  ;
|
| | 446.9
|  ;
|
| | 446.10
|  .
|
|
| | Дан эллипс  . Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения директрис.
|
|
| | Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса  , а две другие совпадают с концами его малой оси.
|
|
| | Дан эллипс  . Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения директрис.
|
|
| | Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса  , две другие лежат с концами его малой оси.
|
|
| | Вычислить расстояние от фокуса F(c; 0) эллипса  до односторонней с этим фокусом директрисы.
|
|
| | Пользуясь одним циркулем, построить фокусы эллипса (считая, что изображены оси координат и задана масштабная единица).
|
|
| | На эллипсе  найти точку, абсцисса которых равна –3.
|
|
| | Определить, какие из точек A1(-2; 3), A2(2; -2), A3(2; -4), A4(-1; 3), A5(-4; -3), A6(3; -1), A7(3; -2), A8(2; 1), A9(0; 15), A10(0; -16) лежат на эллипсе  , какие внутри и какие вне его.
|
|
| | Установить, какие линии опеределяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.
|
| | 455.1
|  ;
|
| | 455.2
|  ;
|
| | 455.3
|  ;
|
| | 455.4
|  .
|
|
| | Эксцентриситет эллипса e=2/3, фокальный радиус точки М эллипса равен 10. Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы.
|
|
| | Эксцентриситет эллипса e=2/5, расстояние от точки эллипса до директрисы равно 20. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, односторонней с этой директрисой.
|
|
| | Дана точка М1(2; -5/3) на эллипсе  ; составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки М1.
|
|
| | Убедившись, что точка M1(-4; 2,4) лежит на эллипсе  , определить фокальные радиусы точки М1.
|
|
| | Эксцентриситет эллипса e=1/3, центр его совпадает с началом координат, один из фокусов (-2; 0). Вычислить расстояние от точки М1 эллипса с абсциссой, равной 2, до директрисы, односторонней с данным фокусом.
|
|
| | Эксцентриситет эллипса e=1/2, центр его совпадает с началом координат, одна из директрис дана уравнением x=16. Вычислить расстояние от точки M1 эллипса с абсциссой, равной –4, до фокуса, одностороннего с данной директрисой.
|
|
| | Определить точки эллипса  , расстояние которых до правого фокуса равно 14.
|
|
| | Определить точки эллипса  , расстояние которых до левого фокуса равно 2,5.
|
|
| | Через фокус эллипса  проведен перпендикуляр к его большой оси. Определить расстояния от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до фокусов.
|
|
| | Составить уравнения эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:
|
| | 465.1
| точка М1( ; 2) эллипса и его малая полуось b=3;
|
| | 465.2
| точка М1(2; -2) эллипса и его большая полуось a=4;
|
| | 465.3
| точки М1(4;  ) и М2( ; 3) эллипса;
|
| | 465.4
| точка М1( ; -1) эллипса и его эксцентриситет e=2/3;
|
| | 465.5
| точка М1(2; -5/3) эллипса и его эксцентриситет e=2/3;
|
| | 465.6
| точка М1(8; 12) эллипса и расстояние r1=20 от нее до левого фокуса.
|
| | 465.7
| точка М1( ; 2) эллипса и расстояние между его директрисами, равное 10.
|
|
| | Определить эксцентриситет e эллипса, если:
|
| | 466.1
| его малая ось видна из фокусов под углом 600;
|
| | 466.2
| отрезок между фокусами виден и вершин малой оси под прямым углом;
|
| | 466.3
| расстояние между директрисами в три раза больше расстояния между фокусами;
|
| | 466.4
| отрезок перпендикуляра, опущенного из центра эллипса на его директрису, делится вершиной эллипса пополам.
|
|
| | Через фокус F эллипса проведен перпендикуляр к его большой оси (см. рис.). Определить, при каком значении эксцентриситета эллипса отрезки  и  будут параллельны.
|
|
| | Составить уравнение эллипса с полуосями a, b и центром C(x0, y0), если известно, что оси симметрии эллипса параллельны осям координат.
|
|
| | Эллипс касается оси абсцисс в точке А(3; 0) и оси ординат в точке В(0; -4). Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.
|
|
| | Точка С(-3; 2) является центром эллипса, касающегося обеих координатных осей. Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.
|
|
| | Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис:
|
| | 471.1
|  ;
|
| | 471.2
|  ;
|
| | 471.3
|  .
|
|
| | Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.
|
| | 472.1
|  ;
|
| | 472.2
|  ;
|
| | 472.3
|  ;
|
| | 472.4
|  .
|
|
| | Составить уравнение эллипса, зная, что:
|
| | 473.1
| его большая ось равна 26 и фокусы суть F1(-10; 0), F2(14;0);
|
| | 473.2
| его малая ось равна 2 и фокусы суть F1(-1; -1), F2(1; 1);
|
| | 473.3
| его фокусы суть F1(-2; 3/3), F2(2; -3/2) и эксцентриситет e=  .
|
| | 473.4
| его фокусы суть F1(1; 3), F2(3; 1) и расстояние между директрисами равно  .
|
|
|
| Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет  , фокус F (-4; 1) и уравнение соответствующей директрисы 
|
|
| | Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет e=1/2, фокус F(-4; 1) и уравнение соответствующей директрисы  .
|
|
| | Точка А(-3; -5) лежит на эллипсе, фокус которого F(-1; -4), а соответствующая директриса дана уравнением  . Составить уравнение этого эллипса.
|
|
| | Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет e=1/2, фокус F(3; 0) и уравнение соответствующей директрисы  .
|
|
| | Точка M1(2; -1) лежит на эллипсе, фокус которого F(1; 0), а соответствующая директриса дана уравнением  . Составить уравнение этого эллипса.
|
|
| | Точка M1(3; -1) является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямой  . Составить уравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет e= .
|
|
| | Найти точки пересечения прямой  и эллипса  .
|
|
| | Найти точки пересечения прямой  и эллипса .
|
|
| | Найти точки пересечения прямой  и эллипса  .
|
|
| | Определить, как расположена прямая относительно эллипса: пересекает ли, касается или проходит вне его, если прямая и эллипс заданы следующими уравнениями:
|
| | 483.1
|  , ;
|
| | 483.2
|  ,  ;
|
| | 483.3
|  ,  .
|
|
| | Определить, при каких начениях m прямая  :
|
| | 484.1
| пересекает эллипс  ;
|
| | 484.2
| касается его;
|
| | 484.3
| проходит вне этого эллипса.
|
|
| | Вывести условие, при котором прямая  касается эллипса  .
|
|
| | Составить уравнение касательной к эллипсу в его точке M1(x1; y1).
|
|
| | Доказать, что касательные к эллипсу , проведенные в концах одного и того же диаметра, параллельны. (Диаметром эллипса называется его хорда, проходящая через его центр).
|
|
| | Составить уравнения касательных к эллипсу  , параллельных прямой  .
|
|
| | Составить уравнения касательных к эллипсу  , перпендикулярных к прямой  .
|
|
| | Провести касательные к эллипсу  параллельно прямой  и вычислить расстояние d между ними.
|
|
| | На эллипсе  найти точку М1, ближайшую к прямой  , и вычислить расстояние d от точки М1 до этой прямой.
|
|
| | Из точки А(10/3; 5/3) проведены касательные к эллипсу . Составить их уравнения.
|
|
| | Из точки С(10; -8) проведены касательные к эллипсу . Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.
|
|
| | Из точки Р(-16; 9) проведены касательные к эллипсу  . Вычислить расстояние d от точки Р до хорды эллипса, соединяющей точки касания.
|
|
| | Эллипс проходит через точку А(4; -1) и касается прямой  . Составить уравнение этого эллипса при условии, что его оси совпадают с осями координат.
|
|
| | Составить уравнение эллипса, касающегося двух прямых  ,  , при условии, что его ося совпадают с осями координат.
|
|
| | Доказать, чо произведение расстояний от центра эллипса до точки пересечения любой его касательной с фокальной осью и до основания перпендикуляра, опущенного из точки касания на фокульную ось, если величина постоянная, равная квадрату большой полуоси эллипса.
|
|
| | Доказать, что произвдение расстояний от фокусов до любой касательной к эллипсу равно квадрату малой полуоси.
|
|
| | Прямая  касается эллипса, фокусы которого находятся в точках F1(-3; 0), F2(3; 0). Составить уравнение этого эллипса.
|
|
| | Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если известны уравнение касательной к эллипсу и его малая полуось b=2.
|
|
| | Доказать, что прямая, касающаяся эллипса в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальными радиусами F1M, F2M и проходит вне угла F1MF2.
|
|
| | Из левого фокуса эллипса  под тупым углом  к оси Ox направлен луч света. Известно, что  . Дойдя до эллипса, луч на него отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.
|
|
| | Определить точки пересечения эллипсов  ,  .
|
|
| | Убедившись, что эллипсы  ,  ( ) пересекаются в четырех точках, лежающих на окружности с центром в начале координат, определить радиус R этой окружности.
|
|
| | Плоскости и  образуют угол  =300. Опредлить полуоси эллипса, полученного проектированием на плоскость окружности радиуса R=10,лежащей на плоскости .
|
|
| | Эллипс, малая полуось которого равна 6, является проекцией окружности радиуса R=12. Опредилть угол между плоскостями, в которых лежат эллипс и окружность.
|
|
| | Направляющей круглого цилиндра является окружность радиуса R=8. Определить полуоси эллипса, полученного в сечении этого цилиндра плоскостью, наклоненной к его оси под уголом =300.
|
|
| | Направляющей круглого цилиндра является окружность радиуса R=  . Определить, под каким углом к оси цилиндра нужно его пересечь плоскостью, чтобы в сечении получить эллипс с большой полуосью a=2.
|
|
| | Равномерным сжатием (или равномерным растяжением) плоскости к оси абсцисс называется такое преобразование точек плоскости, при котором произвольная точка M(x; y) перемещается в точку M’(x’; y’) (рис.1) так, что x’=x, y’=qy, где q>0 – постоянная, называемая коэффициентом равномерного сжатия. Аналогично рпи помощи уравнения x’=qx, y’=y определяется равномерное сжатия плоскости к оси Oy (рис. 2). Определить, в какую линию преобразуется окружность  , если коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси абсцисс q=4/5.
|
|
| | Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Oy равен 3/4. Определить уравнение линии, в которую при таком сжатии преобразуется эллипс .
|
|
| | Найти уравнение линии, в которую преобразуется эллипс  при двух последовательных равномерных сжатиях плоскости к координатным осям, если коэффициенты равномерного сжатия плоскости к осям Ox и Oy равны соответственно 4/3 и 6/7.
|
|
| | Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Ox, при котором эллипс  преобразуется в эллипс  .
|
|
| | Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Oy, при котором эллипс  преобразуется в эллипс  .
|
|
| | Определить коэффициенты q1, q2 двух последовательных равномерных сжатий плоскости к осям Ox и Oy, при которых эллипс  преобразуется в окружность  .
|
