Сандық дифференциалдау есептерінің ерекшеліктері

Математикалық анализ курсынан қарапайым элементар функциялардың туындыларын табудың кестесі мен ережелері бар екені бәрімізге белгілі. Кестеде берілген формулалар мен туынды табудың ережелерін пайдаланып, біз көптеген элементар функциялардың туындыларын таба аламыз. Дегенмен функцияның аналитикалық өрнегі өте күрделі болғанда туындының мәнін табу әрқашан мүмкін бола бермейді. Сонымен бірге әсіресе функцияның мәндері кестемен берілгенде туындының мәнін табу қиындай түседі. Міне осындай жағдайларда туындының белгілі бір нүктедегі мәнін табу үшін, оның жуық мәнін табу басқаша айтқанда сандық дифференциялдау әдісі кеңінен қолданылады. Сандық дифференциялдауды жүзеге асыру үшін біз 2-тарауда қарастырған интерполяциялық көпмүшеліктерді пайдаланамыз.

Айталық функциясы аралығының берілген нүктесіндегі туындысын табуға тиісті функция болсын, ал - осы функция үшін сегментінде құрастырылған интерполяциялық көпмүшелік болсын дейік.

функциясын интерполяциялық көпмүшелікпен ауыстыру арқылы біз функциясының сегментіндегі туындысының мәнін

интерполяциялық көпмүшеліктің мәні ретінде аламыз, яғни жуық түрде

(1)

деп аламыз.

Осы сияқты функциясының жоғары ретті туындыларының мәнін де табуға болады.

Интерполяциялау қателігі

теңдікпен анықталатынын ескерсек (п. 4.6-ны қара) туындыны есептеу қателігін (2)

формуламен анықтауға болатынын, яғни интерполяцияланатын функцияның туындысының қателігі осы функцияның қателігінің туындысына тең болатынын табамыз.

Бұл жерде сандық дифференциалдау есебінің корректілі емес болатынын ескертеміз. Себебі интерполяциялық көпмүшеліктің туындысының қателігі интерполяциялық көпмүшеліктің қателігінен анағұрлым көп болады.

11- суреттен (Зав) пен -тердің мәндерінің ептеген айырмашылығы, тіпті дәл келуі олардың туындылары пен -тің мәндерінің дәл келетінін қамтамасыз ете алмайтынын ( және жанамалар әртүрлі) көреміз.

Төменде біз 4-тарауда қарастырылған Лагранж бен Ньютонның интерполяциялық көпмүшеліктерінің көмегімен сандық дифференциалдау мәселесін қарастырамыз.