Теоретичні відомості. Метод розв’язку задачі називають ітераційним, якщо в результаті отримують нескінченну послідовність наближень до розв’язку

Метод розв’язку задачі називають ітераційним, якщо в результаті отримують нескінченну послідовність наближень до розв’язку. Якщо ця послідовність збігається до розв’язку, то кажуть, що ітераційний процес збігається.

Розглянемо систему Ax = b.

Для застосування ітераційних методів система повинна бути приведена до еквівалентного вигляду x = Bx + d. Потім вибирається початкове наближення до розв'язку системи рівнянь

і знаходиться послідовність наближень до кореня. Для збіжності ітераційного процесу достатньо, щоб була виконана умова .. Критерій закінчення ітерацій залежить від застосовуваного ітераційного методу.

Метод Якобі.

Найпростіший спосіб приведення системи до виду зручному для ітерації полягає в наступному: з першого рівняння системи виразимо невідоме x₁, з другого рівняння системи - x ₂, і т. д. В результаті отримаємо систему рівнянь з матрицею B, в якій на головній діагоналі стоять нульові елементи, а інші елементи обчислюються за формулами:

, i, j = 1, 2,... n.

Компоненти вектора d обчислюються за формулами:

, i = 1, 2,... n.

Розрахункова формула методу простої ітерації має вигляд

,

або в покоординатній формі запису виглядає так:

, i = 1, 2,... m.

Критерій закінчення ітерацій у методі Якобі має вигляд:

, де .

Якщо , то можна застосовувати більш простий критерій

закінчення ітерацій

Метод Зейделя.

Метод можна розглядати як модифікацію методу Якобі. Основна ідея полягає в тому, що при обчисленні чергового (n + 1)-го наближення до невідомого x_i при i> 1 використовують вже знайдені (n 1)-е наближення до невідомих x₁, x₂,..., x_i - 1, замість n -го наближення, як у методі Якобі. Розрахункова формула методу в покоординатній формі запису виглядає так:

,

i = 1, 2,... m..

Умови збіжності і критерій закінчення ітерацій можна взяти такими ж як у методі Якобі.

Метод простої ітерації.

Якщо A - симетрична і позитивно визначена матриця, то систему рівнянь часто призводять до еквівалентного вигляду:

x = x - (A x - b), - ітераційний параметр.

Розрахункова формула методу простої ітерації в цьому випадку має вигляд:

x ⁽ⁿ⁺¹⁾ = x ⁿ - (A x ⁿ - b).

Тут B = E - A і параметр > 0 вибирають так, щоб по можливості мінімізувати величину .

Нехай і - мінімальне і максимальне власні значення матриці A. Оптимальним є вибір параметра . У цьому випадку приймає мінімальне значення, що дорівнює