Тема 4. Прогнозирование на основе трендовых моделей

Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени.

Любой временной ряд включает два обязательных элемента:

1) время t;

2) значение показателя, или уровень ряда y_i.

Количественные значения показателя во временном ряду называются уровнями, где y₁ – начальный уровень ряда, а y_n – конечный уровень ряда. Уровни расположены в хронологическом порядке через равные промежутки времени.

Основные компоненты временного ряда

Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, имеющих разный временной характер действия, которые можно разделить на три группы:

1. длительные, постоянно действующие факторы, оказывающие на изучаемое явление определяющее влияние и формирующие основную тенденцию ряда. Они будут составлять трендовую компоненту T.

2. кратковременные, периодические факторы, формирующие циклические (или сезонные) колебания ряда. Они будут составлять циклическую (или сезонную) компоненту S.

3. случайные факторы, отражаемые случайными изменениями уровней ряда. Они будут составлять случайную компоненту Е.

Методы прогнозирования временных рядов

Экстраполяция – нахождение уровней за пределами изучаемого ряда, т.е. продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом.

Нахождение по имеющимся данным за определенный период времени некоторых недостающих значений признака внутри этого признака называется интерполяцией.

При прогнозировании на основе временных рядов могут использоваться различные методы в зависимости от исходной информации.

Статистические методы прогнозирования

Статистические методы прогнозирования связаны с выявлением основной тенденции развития явления.

Основная тенденция (тренд) – плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний.

Наиболее простой метод статистического прогнозирования предполагает использование средних характеристик ряда динамики: среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста.

Этот метод основан на предположении о равномерном изменении уровней. Если в базовом периоде цепные показатели динамики не имели резких колебаний, то экстраполяцию можно делать с помощью следующих способов:

· с помощью среднего абсолютного прироста.

Скорость изменения уровней временного ряда за определенный отрезок времени характеризуется средним абсолютным приростом. Предполагая его стабильным, прогноз можно дать в виде следующей экстраполяции:

,

где - прогнозируемый уровень,

k - период экстраполяций (год, два,....),

у_n - последний уровень динамического ряда,

- средний абсолютный прирост, .

Использование в экстраполяции среднего абсолютного прироста относится в прогнозировании к классу «наивных» моделей, т.к. предполагается, что развитие явления происходит по арифметической прогрессии, но чаще всего развитие явления следует по иному пути. Вместе с тем в ряде случаев этот метод может найти применение как предварительный прогноз, если у исследователя нет временного ряда: информация дана лишь на начало и конец периода предыстории.

· с помощью среднего темпа роста.

Прогнозное значение уровня, исходя из среднего коэффициента роста, можно получить по формуле:

где - средний темп роста в коэффициентах, .

Данный прием экстраполяции предполагает, что уровни временного ряда изменятся в геометрической прогрессии, что не всегда соответствует реальности. Кроме того, формула расчета среднего коэффициента роста ориентирована на достижение конечного (y_n) уровня временного ряда. И если на конце временного интервала уровень резко изменился (рост сменился спадом) и оказался ниже начального (у₀), то прогноз распространится на будущую тенденцию падения, которой на самом деле не было.

При наличии тенденции во временном ряду его уровни можно рассматривать как функцию времени:

,

где - уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Уравнение, которое выражает зависимость уровней динамического ряда от фактора времени t, называется уравнением тренда.

Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики (линейной диаграмме).

Например, простейшими моделями, выражающими тенденцию развития, являются:

· линейная функция – прямая ,

· показательная функция ,

· кривая 2-го порядка (парабола) ,

где а₀, а₁, а₂ – параметры уравнения, t – время.

После выбора вида кривой (прямая, показательная функция, парабола 2-го порядка и др.) рассчитываются ее параметры.

При использовании полиномов разных степеней оценка параметров производится по методу наименьших квадратов (МНК): строится система нормальных уравнений, число которых соответствует числу параметров полинома. Так для линейного тренда система нормальных уравнений следующая:

где n - число уровней ряда динамики,

t - условное обозначение фактора времени порядковыми номерами (Отсчет времени начинается с 1 (например, если рассчитывается уравнение тренда по данным за январь, февраль, март..., декабрь 2012 года, то время t, которое вводится в качестве независимой переменной, будет обозначено следующим образом: январь - 1, февраль - 2, март - 3,...декабрь - 12)),

у - фактические уровни ряда динамики.

На основе найденного уравнения кривой модели тренда рассчитываются выровненные уровни ряда, таким образом, технически выравнивание ряда заключается в замене фактических уровней выровненными.

Следует обратить внимание, что сумма фактических значений у и сумма выровненных должны приближенно быть равны: å » åу. Если такого равенства нет, уравнение тренда рассчитано неверно.

На основании полученных параметров уравнения тренда проводится сглаживание динамического ряда периода истории, которое позволяет выделить основную тенденцию и случайные колебания.

При этом следует помнить, что даже многократное точное прогнозирование в период проверки и самообучения не дает полной гарантии того, что прогноз сбудется.

Если в ходе испытания получены удовлетворительные результаты, можно рассчитать прогноз на предстоящий период.

Образец решения задачи контрольной работы:

Имеются данные о числе построенных квартир в Забайкальском крае (табл. 3.11, графы А, 1).

На основании имеющихся данных выполните точечный прогноз на 2012-2013 гг. с помощью статистических методов прогнозирования и с помощью линейного уравнения тренда.

Если в 2012 году число построенных квартир будет равно (4384 + ) штук, а в 2013 – (4471 + ) штук, рассчитать ошибку прогноза по каждой из моделей. Оцените точность прогноза по каждому периоду.

Решение

Таблица 3.11

Расчет уравнения тренда ряда динамики численности

построенных квартир

Годы	Число построенных квартир, шт. (у)	t	t2	yt
А
					3283,4
					3560,4
					3837,4
					4114,4
					4391,4
Итого

Пусть = 302.

1) Прогнозирование с помощью среднего абсолютного прироста.

Среднегодовой абсолютный прирост числа построенных квартир в Забайкальском крае:

(шт.).

Тогда, прогноз численности собственных построенных квартир:

на 2012 г. ,

на 2013 г.:

2) Прогнозирование с помощью среднего темпа роста.

Средний темп роста можно рассчитать следующим образом:

Рассчитаем прогноз численности собственных легковых автомобилей:

на 2012 г.: = 4294´1,074 = 4612 (шт.);

на 2013 г.: = 4294´(1,074)² = 4953 (шт.).

3) Прогнозирование на основе уравнения тренда.

Для прогнозирования по прямой следует получить уравнение:

Для расчета параметров а₀ и а₁ решается система нормальных уравнений:

где n - число уровней ряда динамики,

t - условное обозначение фактора времени порядковыми номерами,

у - фактические уровни ряда динамики.

В качестве расчетных добавим в таблицу 3.11 гр. 3 и 4. В гр. 3 значения t возводим в квадрат (1² = 1, 2² = 4 и т.д.), в графе 4 находим произведение уt (3226´1 = 3226, 3634´2 = 7268 и т.д.). В систему нормальных уравнений подставляем данные итоговой строки, в которой предварительно произведем суммирование:

5 а_о+ 15 а₁ = 19187 ´ 3

15 а_о + 55 а₁ = 60331

Умножим каждый член первого уравнения на 3, затем вычтем из второго уравнения первое:

15 а_о+ 45 а₁ = 57561

15 а₀ + 55 а₁ = 60331

10 а₁ = 2770

Отсюда а₁ = .

Подставим его значение в первое уравнение, чтобы рассчитать параметр а_о:

5 а_о +15´277 = 19187,

5 а_о = 19187 –4155,

а_о = .

Уравнение тренда примет вид: = 3006,4 + 277 t. Подставляя в него значения t для каждого года, найдем выровненные (теоретические) значения.

Для 2007 г. = 3006,4 + 277´1 = 3283,4,

для 2008г. = 3006,4 + 277´2 = 3560,4 и т.д. Занесем их в гр. 5 таблицы 3.9.

При этом сумма фактических значений у и сумма выровненных должны приближенно быть равны: å » åу (19187» 19187).

Ряд выровненных значений характеризует тенденцию стабильного возрастания числа построенных квартир в Забайкальском крае, при этом число квартир увеличивается в среднем на 277 шт. в год.

Чтобы использовать уравнение тренда для экстраполяции временного ряда, в уравнение тренда подставляют продолженное значение времени. Например, для 2012 г. t = 6 (продолжим нумерацию), тогда расчетный уровень ряда динамики, соответствующий 2012 г.,

вычислим = 3006,4 + 277´6 = 4668 (шт.),

для 2013 г.: = 3006,4 + 277´7 = 4945 (шт.).

4) Расчет ошибки прогноза по каждой из моделей.

Представим расчеты в форме табл. 3.12. Значения прогнозируемого показателя, полученные по каждому из методов, возьмем из расчетов и занесем в соответствующие ячейки таблицы.

Далее определим ошибку прогноза по формуле:

.

Таблица 3.12

Сравнительная таблица результатов прогнозирования