Математикалық үміт, дисперсия және олардың қасиеттері

Кейбір жағдайларда кездейсоқ шаманың үлестіру заңы белгісіз болуы мүмкін, онда осы шамаларды анықтау мақсаты мен сандық сипаттамалары беріледі. Солардың бірі – математикалық үміт М(Х).

Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық үміті деп оның барлық қабылдайтын мәндерімен сол мәндерге сәйкес ықтималдықтарының көбейтінділерінің қосындысын айтады, яғни

Математикалық үміт кездейсоқ шаманың орта мәніне тең болады.

Егер кездейсоқ шама Х-қабылдайтын мәндері х₁, х₂, … х_n, …, ал оларға сәйкес ықтималдықтары р₁, р₂, … р_n, …, болса және _i қатары абсолютті жинақты болса, онда осы қатардың қосындысын кездейсоқ шаманың математикалық үміті дейді.

Математикалық үміттің қасиеттері:

1. Түрақты шаманың математикалық үміті сол шаманың өзіне тең.

Яғни М(С) = С, С – тұрақты шама;

2.Түрақты санды математикалық үміт таңбасының алдына шығарып жазуға болады:

3.Екі тәуелсіз кездейсоқ шаманың көбейтіндісінің математикалық үміті, олардың математикалық үміттерінің көбейтінділеріне тең:

Салдар. Бірнеше тәуелсіз кездейсоқ шаманың көбейтіндісінің математикалық үміті, олардың математикалық үміттерінің көбейтінділеріне тең.

Мысалы,

4.Екі кездейсоқ шаманың алгебралық қосындысының математикалық үміті олардың математикалық үміттерінің алгебралық қосындысына тең:

М(Х±Y) = М(Х) ± М(Y).

Салдар. Бірнеше кездейсоқ шамалардың алгебралық қосындысының математикалық үміті олардың математикалық үміттерінің алгебралық қосындысына тең.

1-мысал. Үлестіру заңы белгілі (Х) кездейсоқ шаманың математикалық үмітін табайық:

Х
Р	0,3	0,1	0,2	0,4

Шешуі:

Теорема.

п-рет тәжірибе жүргізгенде А‑ оқиғасының пайда болу санының математикалық үміті, тәжірибенің санына, оның әрбір тәжірибеде пайда болу ықтималдығын қөбейткенге тең:

Мысал.

Мылтықтан атылған оқтын нысанаға дәл тию ықтималдығы Р=0,6.

Егер мылтықтан 10 рет оқ атылған болса, жалпы алғанда нысанаға дәл тию санының математикалық үмітін табыңыз.

Шешуі.

Әрбір атылған оқтың нысанаға дәл тиюі, басқа атылған оқтардың нәтижесіне байланыссыз, сондықтан қарастырылып отырған оқиғалар тәуелсіз. Бұл жағдайда ізделіп отырған математикалық үмітті былай табамыз

Кездейсоқ шаманың математикалық үміті сол шаманың, жалпы алғанда, негізгі бір сипаттамасы екендігін көрдік. Енді өзінең‑өзі келіп кездейсоқ шаманың мәні есебінде математикалық ұмітті қабылдағанда жіберген қәтені бағалау мәселесі шығады.Физикада математикалық үміттін аналогиясы ‑ дененің ауырлық центірінің координаттары, ал ауырлық центрден ауытқу мәселелері инерциал моменттері арқылы шешіледі. Кездейсоқ шаманың мәндері оның математикалық үміттінең ауытқитындығы түсінікті. Міне, осы ауытқуды бағалау үшін дисперсия (шашырау) үғымы еңгізіледі. Х кездейсоқ шаманың дисперсиясын Д(Х) таңбасымен белгілейік.

Х‑ кездейсоқ шама және М(Х) оның математикалық үміті болсын. Х‑М(Х) айырымын жаңа кездейсоқ шама ретінде қарастырайық.

Х‑М(Х) айырымын кездейсоқ шаманың оның математикалық үмітінен ауытқуы деп атайды.

Теорема.

Ауытқудың математикалық үміті нөлге тең

Дәлелдеу.

Математикалық үміттің қасиеттерін еске алсақ және математикалық үміттің

[ М(Х)] түрақты шама екенін ескерсек, былай болады

Анықтама. Х кездейсоқ шамасының ДИСПЕРСИЯСЫ (шашырау) деп, кездейсоқ шаманың математикалық үміттен ауытқуының квадратының математикалық үмітін айтады:

Анықтама. айырымын кездейсоқ шаманың оның математикалық күтімінен ауытқу деп атайды.

Теорема. Ауытқудың математикалық күтімі нольге тең, яғни

.

Дәлелдеуі. Математикалық күтімнің қасиеттерін еске алсақ және екенін ескерсек, мынаны аламыз

.