Определение понятий

В содержание понятия о каком-либо математическом объекте входит много различных существенных свойств этого объекта. Однако чтобы установить, содержится ли объект в объеме данного понятия (т. е. распознать его), необходимо проверить наличие у него лишь некоторых существенных свойств. Указание этих существенных свойств объекта, которые достаточны для распознания объекта называется определением понятия об этом объекте.

Вообще определение — это логическая операция, раскрывающая содержание понятия.

Способы определения понятия различны. Прежде всего различают явные и неявные определения.

Явные определения имеют форму равенства, совпадения двух понятий. Например, прямоугольный треугольник — это тре­угольник с прямым углом. Если обозначить через а понятие «пря­моугольный треугольник», а через b понятие «треугольник с прямым углом», то схема данного определения прямоугольного треугольника будет такова: «а есть b».

Неявные определения не имеют формы совпадения двух поня­тий. Примерами таких определений являются так называемые контекстуальные и остенсивные определения.

В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл вводимого понятия. Примером контекстуального определения может быть определение уравнения и его решения, приведенное в пробном учебнике для II класса1. Здесь после записи 3 + л- = 9 и перечня чисел 2, 3, б и 7 идет текст: «— неизвестное число, которое надо найти. Какое из этих чисел надо поставить вместо х, чтобы равенство было верным? Это число 6». Из этого текста следует, что уравне­ние — это равенство с неизвестным числом, которое надо найти, а решить уравнение — это значит найти такое значение х, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Остенсивные определения используются для введения терми­нов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обо­значают. Поэтому остенсивные определения называют еще опре­делениями путем показа. Например, таким способом определя­ются в начальной школе понятия равенства и неравенства.

2∙ ۬7>2∙6 9∙3 = 27

78 —9<78 6∙4 = 4∙6

37 + 6>37 17 — 5 = 8+4

Это неравенства Это равенства

В явных определениях, как уже было отмечено, отождеств­ляются два понятия. Одно из них называют определяемым поня­тием, другое — определяющим. Через определяющее раскрывает­ся содержание определяемого понятия.

Проанализируем, например, структуру определения квадрата: «Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны». Она такова: сначала указано определяемое понятие — «квадрат», а затем приведено определяющее, которое включает свойства: быть прямоугольником; иметь все равные стороны.

Свойство «быть прямоугольником» указывает, что все квад­раты являются прямоугольниками, т. е. понятие «прямоугольник» является более общим, чем понятие «квадрат». Его называют родовым по отношению к определяемому понятию «квадрат».

Второе свойство — «иметь равные стороны» — это указание видового свойства, которое отличает квадрат от других видов прямоугольника.

Такую же структуру имеют и другие определения школьного курса математики. Схематично структуру таких определений можно представить следующим образом:

Определяемое понятие

=

Родовое понятие

Определяющее понятие

+

Видовое отличие

Определение понятия по такой схеме называют определением через род и видовое отличие.

Встречается в математике и определения, построенные по-другому. Рассмотрим, например, такое определение треугольника: «Треугольником называется фигура, которая состоит из трех то­чек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков». В этом определении указано родовое понятие по отношению к треугольнику — фигура, а затем дан способ построе­ния такой фигуры, которая является треугольником: взять три точки, не лежащие на одной прямой, и соединить каждую их пару отрезком. Такие определения называют генетическими».

Обратимся теперь к определению арифметической прогрессии: «Арифметической прогрессией называется числовая последова­тельность, каждый член которой, начиная со второго, равен пре­дыдущему, сложенному с одним и тем же числом». Здесь определяе­мое понятие — «арифметическая прогрессия», родовое понятие — «числовая последовательность», а далее описывается способ получения всех членов прогрессии, начиная со второго. Это опреде­ление можно записать в виде формулы an = an-1+ d, где n ≥2. Такое определение называют индуктивным или рекуррентным3.

В начальном курсе математики имеется очень небольшое число понятий, которым дают определения через род и видовое отличие. Так, например, определяют умножение: «Сложение одинаковых слагаемых называется умножением». Но чаще при введении по­нятий в начальной школе используют остенсивные и контексту­альные определения. Иногда встречаются определения, сочетаю­щие контекст и показ. Примером такого определения является определение прямоугольника, приведенное в учебнике математики для II класса. Здесь нарисованы (показаны) четырехугольники и приведен текст: «У этих четырехугольников все углы прямые». Под рисунком написано: «Это прямоугольники».