Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Рассмотрим НЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
. (1)
Соответствующее ему ОЛДУ есть
. (2)
Характеристическое уравнение ОЛДУ (2) есть квадратное уравнение
. (3)
Возможны три случая.
Случай 1: Тогда уравнение (3) имеет два различных действительных корня и Поэтому общее решение ОЛДУ (2) имеет вид
Случай 2: Тогда уравнение (3) имеет один действительный корень кратности 2. В этом случае общее решение ОЛДУ (2) имеет вид
Случай 3: Тогда корнями уравнения (3) будут
и
т.е. Следовательно, общее решение ОЛДУ (2) имеет вид
Согласно сводной таблице:
I. Если правая часть уравнения (1) есть то:
a) при частное решение надо искать в виде
b) при частное решение надо искать в виде
c) при частное решение надо искать в виде
II. Пусть правая часть уравнения (1) есть Тогда:
a) если не является корнем характеристического уравнения (3), то частное решение надо искать в виде
b) если является корнем характеристического уравнения (3) кратности , то частное решение надо искать в виде
III. Пусть правая часть уравнения (1) есть Тогда:
a) если (корни характеристического уравнения (3) действительны), частное решение надо искать в виде , где
b) если (уравнение (3) не имеет действительных корней), то для или , но частное решение надо искать в виде , где
c) если (уравнение (3) не имеет действительных корней), то для и частное решение надо искать в виде , где
IV. Пусть правая часть уравнения (1) есть Тогда:
a) если (корни характеристического уравнения (3) действительны), частное решение надо искать в виде , где
b) если (характеристическое уравнение (3) не имеет действительных корней), то для
частное решение надо искать в виде , где
c) если (характеристическое уравнение (3) не имеет действительных корней), то для
или
частное решение надо искать в виде , где
Пример 1. Решить уравнение y'' – 2y' + y = .
Решение. Характеристическое уравнение данного уравнения есть Число 1 есть корень кратности 2. Других корней нет. Фундаментальная система соответствующего однородного уравнения есть . Для нахождения частного решения воспользуемся таблицей (пункт II b)). Частное решение ищем в виде . Имеем
Подставляя в уравнение, получим 2A = , откуда A= . Общее решение уравнения есть y = +
Дата публикования: 2015-09-18; Прочитано: 499 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!