Уравнения с раздельными и разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением с разделенными переменными.

Дифференциальное уравнение вида

(2)

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Путем деления на , оно приводится к дифференциальному уравнению

,

которое имеет вид (1).

Будем считать в (1) и – непрерывными функциями, а функцией независимого переменного . Выражение слева есть дифференциал некоторой функции , зависящей от , а выражение справа – дифференциал некоторой функции , зависящей от Решениями дифференциального равнения (1) будут те и только те дифференцируемые функции , которые при некоторой постоянной удовлетворяют уравнению . При этом следует помнить, что если , то по теореме о неявной функции функция , определяемая неявно уравнением , где – произвольная постоянная, будет дифференцируемой.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

Решение. Разделим в (2) переменные и придем к уравнению

Решением дифференциального равнения (2) будет функция такая, что , где – произвольная постоянная. Отсюда .

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение

Решение. Очевидно, функция есть решение уравнения (3). Пусть теперь y>0. Разделим в (3) переменные и придем к уравнению

Проинтегрировав (), получим где – произвольная постоянная. Отсюда следует, что , . Таким образом, при каждом фиксированном значении функция , является решением уравнения (3). Других решений это уравнение в полуплоскости не имеет.

Пример 3. Проинтегрировать уравнение

(4)

Решение. В этом уравнении переменная не может принимать значение 0. Поэтому возможно деление на . Разделив в (4) переменные, получим

. ()

Проинтегрировав (), имеем , или . Постоянную запишем в виде .Тогда . Введем постоянную . Тогда общий интеграл уравнения (4) есть

.

В общем интеграле дифференциального уравнения первого порядка одна произвольная постоянная, которую принято обозначать как . По этой причине принято при переходе от одной произвольной постоянной к другой, например, от к от к , индексы не записывать. Следовательно, общий интеграл уравнения (4) имеет вид

(С> 0).

Пример 5. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию.

(5)

Решение. Мы ищем решение дифференциального уравнения (5) в окрестности точки , удовлетворяющее условию . Дифференцируемая функция

непрерывна. Поэтому окрестность точки будем считать столь малой, что

(6)

для любого из этой окрестности. Тогда . Разделив на , получим , откуда

Следовательно, с учетом (6), общий интеграл данного уравнения есть

(С>0).

Найдем значение параметра , которому соответствует кривая, удовлетворяющая начальному условию , то есть проходящая через точку (1,2) :

Таким образом, решением будет такое, что .

Пример 6. Проинтегрировать уравнение

Решение.

Разделив на , получим

откуда

, или .

Дифференциальное уравнение

приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой . Действительно, . Следовательно

, или откуда .

Дифференциальное уравнение

приводится к уравнению с разделяющимися переменными, если . Действительно, в этом случае при некотором . Следовательно, дифференциальное уравнение может быть записано в виде

,

и по предыдущему подстановкой оно может быть приведено к уравнению с разделяющимися переменными.