Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть n > 1. Как мы знаем, дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид
(1)
Если уравнение (1) имеет вид
(1'),
то уравнение - го порядка (1') называется разрешенным относительно -ой производной. Функция в правой части уравнения (1') есть функция переменного. Общее решение уравнения (1') имеет вид
,
где – постоянные.
Общим интегралом уравнения (1) или (1') называется соотношение , задающее неявно решение уравнений (1) или (1'), соответственно.
Теорема 1. Пусть правая часть уравнения (1'), рассматриваемая как функция переменного , непрерывна, и имеет в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные . Тогда на некотором интервале , содержащем точку , найдется раз непрерывно дифференцируемое решение уравнения (1'), удовлетворяющее условиям
. (2)
При этом решение дифференциального уравнения (1'), удовлетворяющее условиям (2), единственно.
Условия (2) называются начальными. Задача отыскания решения дифференциального уравнения (1'), удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Кoши.
9) Понижение порядка уравнения.
В процессе интегрирования уравнения - го порядка иногда удается получить уравнение более низкого порядка, эквивалентное исходному уравнению -го порядка в том смысле, что оба уравнения имеют одни и те же решения. Такие уравнения более низкого порядка называются промежуточными интегралами. Промежуточный интеграл порядка так же называют первым интегралом.
Пример 1. Дифференциальное уравнение второго порядка может быть записано как . Поэтому оно имеет первый интеграл .
Рассмотрим простейшие случаи, когда возможно понижение порядка дифференциального уравнения и, тем самым, сведение более сложной задачи к более простой.
I. Уравнение не содержит искомой функции и ее производных до порядка k-1 включительно, т.е. имеет вид следующий вид:
.
В этом случае порядок уравнения может быть понижен до подстановкой , так как в результате такой подстановки уравнение приобретает вид . В частности, если уравнение второго порядка не содержит , т.е. имеет вид , то подстановка приводит к уравнению первого порядка .
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. Полагая , получаем , или , откуда p=C1x, т.е. . Интегрируя последовательно три раза, получаем:
, , .
Ответ:
II. Уравнение не содержит независимого переменного , т.е. имеет вид
. (1)
В этом случае порядок дифференциального уравнения можно понизить на 1, рассматривая как независимое переменное, как неизвестную функцию переменного и составляя дифференциальное уравнение для . Например, пусть нам дано дифференциальное уравнение
(2)
Имеем , , откуда из (2) получаем дифференциальное уравнение для функции переменного :
Если (1) есть уравнение третьего порядка
(3)
то, поскольку
из (3) получаем дифференциальное уравнение для функции переменного
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Непосредственно убеждаемся, что y=C есть решение. Далее считаем, что y не есть постоянная функция, и тем самым . Имеем или . Так как , то , или . Отсюда или . Разделяя переменные, получаем . Следовательно, , или , . Так как есть решение исходного уравнения, и y=C можно получить как , то общее решение дифференциального уравнения (4) есть
III. Левая часть уравнения является производной некоторой функции .
В этом случае порядок уравнения снижается на единицу, т.к. уравнение можно переписать в виде
, откуда .
Пример3. Решить уравнение
Решение. , поэтому . Это уравнение является линейным уравнением первого порядка. Находим его решение по методу Бернулли: , , . Интеграл от функции не выражается в элементарных функциях, поэтому пишем
, .
Дата публикования: 2015-09-18; Прочитано: 223 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!