Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Дифференциальное уравнение вида

где и некоторые заданные функции, называется линейным

дифференциальным уравнением первого порядка.

Если , то уравнение имеет вид и называется однородным. Его решением является . Если то разделяя переменные, получаем откуда , или , где - примитивная функции . Следовательно, ненулевые решения однородного уравнения имеют вид , где – произвольная постоянная, отличная от нуля. Полагая , получим нулевое решение. Таким образом, все решения дифференциального уравнения могут быть найдены по формуле , где – произвольная постоянная, – примитивная функции .

Для решения неоднородного линейного дифференциального уравнения применим метод Лагранжа вариации произвольной постоянной: в общем решении однородного уравнения заменим постоянную функцией и будем искать решение неоднородного уравнения в виде . Имеем , откуда . Следовательно, в качестве можно взять любую примитивную функции . Пусть . Тогда общим решением линейного дифференциального уравнения будет функция