Понятие интегральной суммы, предела интегральных сумм, интеграла Римана

Определение 1. Рассмотрим отрезок . Набор точек таких, что будем называть разбиением отрезка и обозначать, например, через . Отрезки будем называть отрезками разбиения . Диаметром разбиения назовем число , где .

Условимся диаметр разбиения обозначать символом .

Определение 2. Пусть , -разбиение отрезка . Для каждого на отрезке фиксируем произвольную точку . Сумма называется интегральной суммой и обозначается .

Определение 3. Число называется пределом интегральных сумм при условии, что диаметр разбиения стремится к нулю, если : , неравенство справедливо при любом выборе точек . обозначают .

Определение 3. Функция называется интегрируемой на отрезке , если существует предел I интегральных сумм при условии, что диаметр разбиения стремиться к нулю. При этом называют определенным интегралом (интегралом Римана) на отрезке и обозначают .

Предложение 1. Интегрируемая на отрезке функция необходимо ограничена на .

Предложение 2. Если функция интегрируема на отрезке , то

, где

Следствие 1. Если функция , то

Теорема 1. Если функция интегрируема на отрезке , то функция также интегрируема на отрезке .