Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции

Символом здесь и далее будем обозначать функцию, представляющую собой отношение двух многочленов переменных и . Такая функция называется рациональной функцией двух переменных и .

Аналогичным образом определяется рациональная функция трех переменных , четырех и т.д.

Для вычисления интегралов применяют универсальную тригонометрическую подстановку Тогда

так что .

Эта подстановка приводит часто к сложным выкладкам. Для отдельных классов тригонометрических функций более удобны следующие приемы интегрирования:

1. если функция нечетна относительно , т.е. , то применяется подстановка ;

2. если функция нечетна относительно , т.е. , то применяется подстановка ;

3. если функция нечетна относительно и , т.е. , то используется подстановка ;

4. если и находятся в четных степенях, то применяют формулы понижения степени

Интегралы вида

вычисляются с помощью известных формул тригонометрии преобразования произведения в сумму:

,

,

.