Интегрирование элементарных дробей

Интегрирование дробей вида (3) не представляет трудности. При

на каждом из интервалов . Если и , то

на каждом из интервалов .

Рассмотрим теперь элементарные дроби вида (4)

, где .

Для первого интеграла правой части имеем при и при . Остаётся вычислить интеграл при . Обозначим через первообразную функции , принимающую в точке значение 0. Интегрируя по частям, получаем

,

где – какая-либо первообразная функции . Но

,

и в качестве можно взять . Значит

,

откуда при некотором будет выполняться равенство

.

Подставляя , находим, что , а тогда

(5)

Так как , то . Используя равенство (5) можно определить при любом натуральном , а тем самым и для любого натурального .

Таким образом, интеграл от рациональной функции вычисляется эффективно и результатом интегрирования является сумма, которая возможно включает рациональную, логарифмическую функцию и арктангенс.