Формула интегрирования по частям

Теорема 1. Пусть функции дифференцируемы на , и функция имеет примитивную на . Тогда функция также имеет примитивную на и справедливо равенство

. (1)

Коротко (1) записывается так:

(1′)

При этом точный смысл (1) заключается в следующем: если − примитивная для , то

.

Пример 1. Найти .

Решение. Положим . Тогда (в качестве мы берём наиболее простую функцию, для которой , т. е. не включаем в состав произвольную постоянную), и . Мы свели решение примера к вычислению такого интеграла, где первообразная очевидна: . Следовательно,

.

Пример 2. Найти .

Решение.

.

Пример 3. Найти .

Решение. Пусть – примитивная функции , – примитивная функции . Тогда имеем

,

Следовательно, найдутся постоянные и такие, что

, (2)

. (3)

Подставляя (3) в (2), получаем

,

откуда

,

или

.

Значит, также есть первообразная функции , поэтому

. (4)

. (5)

Пример 4. Найти , где - натуральное число.

Решение. .

Пример 5. Найти , где - натуральное число.

Решение. .

Пример 6. Найти , где - натуральное число.

Решение. .

Пример 7. Найти , где - натуральное число.

Решение. .

Примеры 4-7 показывают, что эти интегралы можно найти повторным применением формулы интегрирования по частям. Однако всегда при повторном применении этой формулы нужно следить, чтобы мы не проделали в обратном порядке те выкладки, которые встретились на первом шаге. В противном случае мы придём к ничего не дающему тождеству:

,

где −примитивная для .