Замена переменных в неопределенном интеграле

Один из приемов, часто используемых при вычислении интегралов− замена переменной. Он основывается на следующей теореме.

Теорема 1. Пусть − первообразная для . Если − дифференцируемая функция, то

.

В частности,

(1)

Пример 1. Найти .

Решение. Положим . Тогда . Так как , то по Теореме 1 .

Обычно эти выкладки записываются по следующей схеме: положим ; тогда и тем самым

.

В процессе решения мы внесли под знак дифференциала, поэтому и метод нахождения неопределенного интеграла, основанный на Теореме 1, называется “ внесением под знак дифференциала”.

Пример 2. Найти .

Решение. Полагая , и применяя формулу (1), получаем

.

Пример 3. Найти .

Решение. .

Пример 4. Найти .

Решение. .

Пример 5. ,

.

Решение. Применим формулу (1) и табличные интегралы 1 и 2, учитывая, что коэффициент перед .

Пример 6. Найти .

Решение.

.

Иногда правило замены переменной удобно использовать в другой форме.

Теорема 2. Пусть функция имеет примитивную на , –строго монотонная функция, дифференцируемая на , –примитивная функции . Тогда есть примитивная функции , т. е. .

Доказательство. Обозначим через первообразную функции .Тогда по Теореме 1 , откуда для . Рассмотрим . Тогда для некоторого , а это . Поэтому , и тем самым есть первообразная функции .

При применении этой теоремы выкладки записываются по следующей схеме. Требуется вычислить . Положим . Тогда . В результате формальной подстановки находим . Подставляя , получаем окончательный результат.

Пример 1. Вычислить .

Решение. Используем подстановку (считая ), которая позволяет избавиться под знаком интеграла от корня. Тогда и

.

Чтобы получить выражение найденного интеграла через , следует подставить . Таким образом

.

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. Пусть . Имеем

.