К вопросу о понятии кристалла

Понятие сплошной среды было введено и рассмотрено нами в работе [3, с. 35–37]. Характерной особенностью этих сред (твёрдых, жидких и газообразных) является то, что кроме большого числа частиц N ~ N _A >> 1 они проявляют упругие свойства; способность восстанавливать свою форму, искажённую в результате кратковременного действия внешней силы. Эта способность среды является причиной того, что всякое механическое действие передаётся средой с конечной скоростью. Для простоты рассуждений в качестве сплошной среды будем рассматривать модель идеального кристалла (рис.6.1): точки равновесного расположения атомов образуют регулярный строй – структуру кристалла, её пространственную периодичность, неограниченную во всех трёх измерениях; она, структура, как бы состоит из бесконечно повторяющихся частей.

Рис. 6.2. Энергия взаимодействия между ближайшими частицами сплошной среды

В условиях равновесного состояния при (T > 0), которое сложилось в среде при отсутствии внешнего воздействия, частицы среды (атомы, ионы, молекулы) непрерывно колеблются около положений равновесия, причём интенсивность колебаний растёт с температурой.

Рис. 6.1. Модель идеального кристалла

Силы притяжения между частицами среды на достаточно малых расстояниях, r < r ₀, сменяются быстро возрастающими, с уменьшением расстояния, силами отталкивания. Действительно, взаимодействие между частицами любого вида в кристалле может быть представлено [2, 6] потенциальной кривой, изображённой на рис. 6.2. Из него следует, кривая несимметрична относительно минимума при r _0. Таким образом, появление упругих сил при внешнем воздействии на среду обусловлено изменением расстояния между соседними частицами сплошной среды (рис. 6.2). Если учесть, что энергия взаимодействия между соседними частицами среды , рис. 6.2., имеет минимум в точке r = r _0, то при нарушении равновесия будут возникать соответственно силы притяжения или отталкивания между атомами (ионами), что ведёт к возникновению упругой деформации в среде. При малых деформациях вблизи точки равновесия, х << r ₀, потенциальная энергия с достаточной степенью точности может быть представлена аналитическим выражением = Е (r ₀) + kx ²/2. Поскольку сила является первой производной от потенциальной энергии, с. 30 формула (2.5), естественно ожидать, частица (атом) совершает малые гармонические колебания около состояния равновесия (T > 0). Колебания частиц в сплошной среде не являются независимыми. Сместившаяся из положения равновесия частица увлекает с собой ближайшие к ней частицы. Сильное взаимодействие между частицами среды приводит к тому, что возмущение, вызванное колебанием какой-либо частицы, передаётся другим частицам. Отсюда немедленно следует, упругая деформация может распространяться в сплошной среде. Распространение колебаний в среде, в нашем случае упругой деформации, называется бегущей волной. Бегущая упругая волна, достигнув границы сплошной среды (кристалла), может отражаться. При наложении прямой и отражённой волн возникают так называемые стоячие волны. Естественно, они должны отвечать соответствующим условиям. В частности, в среде возникают стоячие волны с набором дискретных частот, половина длины волны которых укладывается в сплошной среде целое число раз. Аналитически это может быть записано как L = n × . Здесь под L подразумевается линейный параметр сплошной среды, например, кристалла (в трёх направлениях), представленного на рис. 6.1, а l_n = – наименьшее расстояние между двумя точками, осуществляющими колебания в одной фазе (длина волны). Таким образом, в тепловом равновесии кристалл (твёрдое тело) может быть представлен набором (спектром) дискретных частот (стоячих волн).

Итак, при T > 0 проявляются динамические нарушения структуры кристалла. Тем не менее, взаимная упорядоченность в расположении частиц в ней, т. е. их регулярный строй, сохраняются (рис. 6.1). Это обстоятельство (сохранение регулярного строя) и интенсивное взаимодействие частиц, >> k _Б× T (потенциальная энергия взаимодействия частиц значительно превышает их тепловую энергию), позволяют рассматривать колебания структуры кристалла как малые возмущения системы в целом. И тогда для описания отклонений от структуры идеального кристалла может быть пригодна модель идеального газа. Разумеется, хаотические отклонения структуры кристалла от идеальной нельзя представить в виде совокупности независимых «квазичастиц» индивидуального типа, из которых состояли равновесные газоподобные системы [3, с. 51; 35, 36]. Вместе с тем, хаотические колебания частиц кристалла – это совокупность собственных упругих колебаний. Единственным их отличием является то, что амплитуды и фазы колебаний, определяющие их начальное состояние как «квазичастиц» коллективного типа, имеют случайные значения. В то же время небольшие отклонения от упругого приближения приводят к обмену энергией между нормальными модами упругих колебаний, что аналогично редким столкновениям частиц в газе, состоящем из атомов. Напомним здесь, что нормальная мода – это «коллективное» синхронное движение всех атомов цепочки (независимо от их сорта). Таким образом, совокупность собственных нормальных мод, соответствующая хаотическим упругим колебаниям кристалла в тепловом равновесии обладает всеми признаками газоподобной системы. Непривычно здесь только то, что она состоит из «независимых» квазичастиц существенно коллективного типа. Однако если исходить из того, что подобная «квазичастица» это «размазанный» осциллятор (колебательная система), то вычисление средней энергии кристалла в «смешанном» состоянии сводится к вычислению энергии отдельной моды (колебания) и нахождению энергии суммы этих колебаний.

Из гипотезы о равномерном распределении энергии по степеням свободы следует, что средняя кинетическая и средняя потенциальная энергии в тепловом равновесии равны каждая [3, с. 55]. В нашем случае, для каждого отдельного колебания (моды) . Кроме того, согласно той же гипотезе, эта величина не зависит от характера конкретного осциллятора, в том числе и от его собственной частоты w. Поэтому для кристалла с простой структурой его молярная теплоёмкость может быть записана ; здесь тройка отражает смысл пространственных размеров кристалла. Как следует из опыта, этот закон подтверждается для большинства кристаллов при умеренных температурах. Но теперь мы видим, в области умеренных температур идеальный газ «коллективных квазичастиц» можно заменить моделью идеального газа «индивидуальных квазичастиц» – трёхмерных гармонических осцилляторов, обладающих средней энергией k _Б Т.

Особенностью этих «квазичастиц» является отсутствие поступательных степеней свободы. Частоты их колебаний могут быть любыми и никак не связаны с частотами спектра «коллективных квазичастиц». Иными словами, в области умеренных температур кристалл, по существу, можно моделировать системой «невзаимодействующих» атомов, совершающих независимые колебания. Никакого противоречия здесь нет. «Индивидуальные квазичастицы», которым мы придали ряд признаков исходных частиц, это всё же квазичастицы (квазиатомы). Их отличие в том, что они не обладают поступательным движением и удерживаются в узлах кристалла благодаря взаимодействию, обеспечивающему само его, кристалла, существование.

Таким образом, качественное рассмотрение кристалла в модели «квазичастицы» позволило сформировать представление о кристалле. В частности, в состоянии теплового равновесия в области умеренных температур кристалл может быть представлен как возможное множество частот собственных колебаний или стоячих волн. Иными словами частотный спектр (моды колебаний) – это внутренняя характеристика кристалла. В существовании множества частот (мод) колебаний можно убедиться из примера, представленного на рис. 6.3. Он позволяет убедиться в том, что возможное множество мод колебаний определяется числом степеней свободы каждого элемента системы. В системе из двух элементов (атомов) существуют две моды колебаний (рис. 6.3), тогда как система из трёх атомов обладает тремя степенями свободы, т.е. возможны три стоячих волны. Естественно ожидать, в системе из N элементов (атомов) существует N мод колебаний.

Рис. 6.3. На верхней части рисунка представлена колебательная система, состоящая из двух одинаковых шариков, соединённых одинаковыми невесомыми пружинками. Шарики могут перемещаться только в плоскости листа. На нижней части рисунка колебательная система состоит из трёх одинаковых шариков.

К ознакомлению со свойствами твёрдого тела в области низких температур мы вернёмся в четвёртом семестре, пытаясь осознать возможности квантовой физики. Что касается фразы «область умеренных температур», то читатель может помыслить самостоятельно.