Преобразования Галилея

Обсуждение пространственно-временных отношений в первой главе (параграфы 1.3, 1.4) позволило прописать поступательное движение частиц (корпускул) и выявить важнейшие характеристики состояния материального объекта { , }. Следует обобщить понятие состояния частицы на её произвольное движение в трёхмерном пространстве.

Опыт показывает, что к реальному пространству с высокой степенью точности применима геометрия Евклида, которая наиболее просто выглядит в декартовой системе координат. Положение частицы в пространстве определяется совокупностью трёх пространственных координат события – х, у, z, а квадрат пройденного расстояния частицы находится по теореме Пифагора. Из этого, согласно проведённому в первой главе рассмотрению, следует, состояние частицы в фиксированный момент времени полностью задано, если известны шесть величин-компонент радиус-вектора и вектора скорости частицы . В соответствии с опытом мировая линия частицы может считаться непрерывной. Поэтому задание двух векторов и при позволяет в принципе найти их значение в последующие моменты времени .

Наконец, обобщим выводы на движение частицы в трёхмерном пространстве, связанные с его свойствами, не только для неподвижной системы отсчёта S, но и для любых инерциальных систем отсчёта S ^/, движущихся с малыми скоростями. Допустим, что система отсчёта S ^/ движется поступательно со скоростью V =constотносительно системы отсчёта S в положительном направлении оси Х (рис. 4.1). Тогда из геометрических соображений получим, что радиус-векторы частицы А в двух ИСО связаны соотношением r _A= V × t +r ^/_A, где векторы r _Aи r ₀= V × t определены в системе отсчёта S, а вектор r ^/_A – в системе S ^/ (рис. 4.1).

В результате четыре координаты одного и того же события в двух ИСОизменяются по законам (рис. 4.1):

х ^/ = х – V × t;

у ^/ = у;

z ^/ = z;

t ^/ = t. (4.1а)

Они называются прямыми преобразованиями Галилея. Обратные преобразования Галилея (при переходе от системы S ^/ к S) имеют вид:

х = х ^/ + V × t; у = у ^/; z = z ^/; t = t ^/, (4.1б)

т.е. отличаются заменой всех штрихованных величин нештрихованными и знака у скорости V.

В качестве следствий преобразований Галилея следует отметить, что при переходе к движущейся инерциальной системе отсчёта (ИСО):

– понятие одновременности остаётся инвариантным, t ^/ = t;

– понятие одноместности зависит от движения, х ^/ ¹ х;

– промежуток времени и расстояние остаются инвариантными

D r ^/ = |r ^/ _B – r^/ _А | = ; (4.2)

Dt ^/ = Dt;

– преобразование скорости частицы записывается в виде:

Рис. 4.1. К описанию движения частицы в движущейся инерциальной системе отсчёта (ИСО) (u << c)

, (4.3)

где учтено, что Dt ^/ = Dt. Здесь уместно подчеркнуть, эти преобразования, равно как и преобразования параграфа 1.3, напоминают правило параллелограмма. Однако в приведённых здесь преобразованиях векторы относятся к разным ИСО, а правило параллелограмма установлено лишь для векторов в одной и той же системе отсчёта.

Таким образом, преобразования Галилея, вытекающие из обобщения повседневного опыта, позволяют определить характеристики пространственных и временных отношений в мире событий, не зависящие от выбора неподвижных и медленно движущихся ИСО.