Момент импульса частицы. Понятие момента инерции

Рис. 3.1. Движение частицы относительно центра окружности 0

В предыдущих главах мы убедились в том, что импульс как характеристика состояния частицы обладает существенными преимуществами перед скоростью . Важнейшее из них – сохранение импульса изолированной системы – тесно связано со свойствами пространства. Это является прямым следствием неизменности свойств изолированной системы относительно выбора начала отсчёта; другими словами, является следствием однородности пространства. Это обстоятельство наводит нас на мысль, при выборе фундаментальных характеристик состояния частицы (в мире событий) главным критерием должно служить требование сохранения этих величин для изолированной системы. Так появилась следующая фундаментальная характеристика частицы – энергия. Она, как и импульс частицы, обладает свойств аддитивности (сложения) и сохранения для изолированной системы. Эти свойства обозначенных величин, являющихся характеристиками состояния частицы, обусловлены тем, что они отражают фундаментальное свойство пространства и времени – их однородность. Рассуждая по аналогии, было бы естественно допустить, что свойства изолированной системы не должны зависеть и от выбора направлений осей координат системы отсчёта; так проявляется ещё одно свойство пространства – его изотропность; независимость характеристик состояния частицы, в нашем случае механических, от направления осей координат системы отсчёта. Иными словами, должна существовать ещё одна фундаментальная характеристика состояния частицы, проявляющая свойства аддитивности и сохранения её величины для изолированной системы, но «чувствительная» к требованию её инвариантности (неизменности) относительно поворотов системы отсчёта в пространстве. И такой характеристикой является момент импульса частицы. Почему? Специфический характер рассматриваемой величины проявляется особенно в тех случаях, когда система в целом обладает выделенной осью или центром.

Попробуем убедиться в этом. Пусть частица массы m, обладающая импульсом , движется по окружности радиуса (рис. 3.1.). Естественно назвать моментом импульса частицы (по аналогии с моментом импульса силы) векторную величину , определяемую векторным произведением величин:

, (3.1)

здесь – радиус-вектор, проведённый из точки 0 в ту точку пространства, в которой находится частица, обладающая импульсом . В каждый момент времени момент импульса перпендикулярен плоскости, образованной векторами и (рис. 3.1.). Поскольку траектория частицы – кривая, расположенная в плоскости, то, поместив начало отсчёта в этой плоскости, получим, что вектор при любых значениях t перпендикулярен плоскости движения. Это естественно наводит на мысль, имеется выделенная ось, связанная с движением. Вектор называют также орбитальным моментом, подчёркивая тот факт, что новая величина, как и импульс частицы , характеризует движение частицы по траектории; орбите.

Следует заметить, для свободной частицы момент импульса не является самостоятельной характеристикой, поскольку его сохранение следует непосредственно из закона сохранения импульса. Убедимся в этом. Для этого продифференцируем выражение (3.1); (зачем нужна такая математическая операция?) В результате дифференцирования получаем выражение вида:

.

Здесь второе слагаемое правой части равно нулю; действительно, производная от постоянной величины равна нулю, а её умножение на немедленно даёт нуль. Первое слагаемое так же ведёт к нулевому результату; поскольку производная от радиус-вектора является скоростью , то умножение скорости на импульс также немедленно даёт нуль. Почему? Уточните понятие векторное произведение: направление векторов , совпадает, естественно, угол между векторами равен нулю, а sin 0^о равен чему? Таким образом, для свободной частицы = const.

Однако специфический характер рассматриваемой величины отчётливо проявляется лишь для системы частиц.

Равномерное движение по окружности (рис. 3.1.) представляет собой движение в плоскости. Однако в работе [3, с. 13] мы показали, несмотря на то, что движение плоское, его можно трактовать как одномерное движение с характеристиками состояния частицы – угол поворота и угловая скорость . Тогда из уравнения (3.1) следует:

.

Поскольку здесь sina равен единице (почему?) (рис. 3.1.), а при движении по окружности , в итоге получаем:

. (3.2)

Из приведённых рассуждений следует: при равномерном движении по окружности, w = const, момент импульса частицы сохраняется по модулю, L = const, и имеет всего одну отличную от нуля компоненту. Направление вектора может быть определено по правилу буравчика (уточнили его?).

В аналитическом выражении (3.2) масса m – внутренне присущее частице число (см. с. 17), а R – радиус её удалённости от выделенной оси движения. Естественно ожидать, что произведение отражает некое свойство частицы к движению её по окружности. Чтобы понять физический смысл этой величины, сопоставим аналитическую запись уравнений для импульса и момента импульса, соответственно, при поступательном и вращательном движении частицы. Известно, при поступательном движении импульс частицы , а момент импульса её при вращательном движении может быть представлен аналитически как , если символом J обозначить произведение массы частицы m на квадрат расстояния R её удалённости от выделенной оси вращения: J = . Нетрудно видеть, между ними существует тесная аналогия. В частности, масса m отражает инертные свойства частицы при поступательном движении, тогда как J является мерой инертных свойств частицы при её движении по окружности; при вращательном движении. Поэтому физическую величину J = принято называть моментом инерции частицы относительно оси в заданной инерциальной системе отсчёта. Таким образом, при движении по окружности более удобными характеристиками состояния частицы служат угол поворота , угловая скорость w и момент импульса частицы .

Итак, мы убедились в том, что при наличии выделенной оси или центра вращения характеристиками состояния частицы целесообразно выбирать такие величины, которые явно учитывают наличие элементов симметрии. В заключение параграфа сравним теперь в качестве характеристик состояния частицы угловую скорость w и момент импульса . Они отличаются друг от друга по тем же параметрам, что и – скорость ,и импульс (см. с. 16). Действительно, угловая скорость w, равно как и линейная скорость , не является аддитивной (складывающейся) величиной и не сохраняется для изолированной системы. Естественно, использование момента импульса как характеристики состояния частицы при вращательном движении предпочтительнее.