Позиционные задачи на взаимную перпендикулярность двух кривых поверхностей

Если элементы линейных каркасов двух данных поверхностей взаимно перпен-дикулярны, то такие поверхности ортого-нально сопряжены.

Отсюда следует, что для проектирова-ния ортогонально-сопряженных поверхнос-тей необходимо иметь ортогонально-сопря-женные плоские линии их линейных карка-сов.

Определение 16.7. Ортогонально-со-пряжёнными являются стороны прямого угла и те кривые линии, которые касате-льны к ним в его вершине (рис.16.90, а - в)

К числу ортогонально-сопряженных от-носятся также софокусные коники (рис.5. 78, а,б) - параболы между собой и гипербол-лы с эллипсами при условии, что пересе-каясь, их ветви касаются сторон прямого угла с вершиной в точке их пересечения.

Наиболее простыми являются ортогона-льно-сопряженные поверхности, образо-ванные вращением ортогонально-сопря-женных линий.

Если вращать прямоугольный треуго-льник вокруг его гипотенузы, то его катеты образуют две ортогонально-сопряженные конические поверхности (рис.16.91).

Если вращать прямую линию и орто-гонально-сопряженную с ней дугу окружно-сти вокруг компланарной с ними оси, про-ходящей через центр этой окружности, то получится коническая поверхность, ортого-нально-сопряженная со сферической или

коническая со сферическим основанием

Рис. 16.92. Геометрические модели

ортогонально-сопряженные поверхности вращения:

а – коническая Ф и сферическая S

б –сферическая Ф и сферическая S

Рис.16.93. Геометрическая модель поверхности, образованная вращением двух ортогонально-сопряженных парабол вокруг их фокальной хорды

(рис.16.92, а)

Если вращать две ортогонально-сопря-женные окружности вокруг линии их цент-ров, то получится геометрическая конст-рукция из двух ортогонально-сопряженных сфер (рис.16.92, б).

Если вращать ортогонально-сопряжён-ные параболы (см. рис.16.90, б) вокруг их фокальной хорды CD, то получится геоме-рическая система из веретенообразного за-мкнутого параболоида D и двух его откры-тых полостей Ф, поверхностей двух асимп-тотических конусов L и поверхности дирек-трисного цилиндра S (рис.16.93).

Если вращать две ортогонально-сопря-женные параболы с их директрисами во-круг оси их симметрии (см.рис.16.90,б) то получится геометрическая конструкция из двух ортогонально-сопряженных параболо-идов вращения Ф и S, поверхностей двух ортогонально-сопряженных конусов L, ка-сающихся обеих параболоидов по линии m их пересечения, а также двух директрисных плоскостей d, проходящих через вершины L и K конусов L, которые на рис.19. 94 ус-ловно не показаны.

Если вращать ортогонально-сопряжен-ные эллипс n и гиперболу m с их дирек-трисами d¹, d² и асимптотами t¹ и t² вокруг действительной оси гиперболы, совпадаю-щей с большой осью эллипса (см. рис. 16. 90 ,в), то получится геометрическая кон-струкция из ортогонально-сопряжённых вы-тянутого эллипсоида вращения Ф и двупо-льного гиперболоида вращения S, до-полненная двумя парами параллельных директрисных плоскостей d (одна из кото-рых на рис.16.95 условно не показана) и двупольной конической асимптотной повер-хностью L (рис.16. 95, б).

Если вращать ортогонально-сопряжен-ные эллипс и гиперболу с их директрисами и асимптотами (см. рис.16.90, в) вокруг мни-мой оси гиперболы, совпадающей с малой осью эллипса, то получится геометрическая конструкция из ортогонально-сопряженных сжатого эллипсоида Ф и однопольного ги-перболоида вращения S, дополненная двумя поверхностями директрисных цилин--дров W и Q и одной конической асимп-тотной поверхностью D, которая вместе с директрисным цилиндром Q на рис.16.95, а)

условно не показана.

Если ортогонально сопрягаются трёх-осный золотой эллипсоид Ф с софокусным двупольным эллиптическим гиперболоидом

S, то к ним присоединяется также золотой, но однополостный эллиптический гипербо-лоид W (рис.16.96). Получаемая геометри-

ческая конструкция как система имеет дос-

таточно сложную, но сгармонизированную

Рис. 16.94. Геометрическая модель системы двух ортогонально-сопряженных параболоидов вращения

Рис.16.95. Варианты геометрических моделей ортогонально-сопряженных поверхностей эллипсоида и гиперболоида вращения

Рис. 16.96. Геометрическая модель золотого эллипсоида Ф и золотых гиперболоидов S и W

Рис.16.97. Графическая модель ортогонально-сопряженных золотого эллипсоида Ф и золотых гиперболоидов

S и W

золотой пропорцией структуру, которая вк-лючает в себя, помимо собственно сопря-

женных поверхностей их директрисные, асимптотные и фокальные поверхности, а

также результаты их взаимодействия.

Следует отметить, что все соответст- венные элементы линейных каркасов этих

поверхностей взаимно-перпендикулярны и

эта их позиционная особенность является основным условием для их графического

моделирования (рис.16.96).

Для построения 3-хкартинного компле-ксного чертежа этих поверхностей нужно:

1. Построить золотой эллипс а эквато-ра и производные от него профильный с и фронтальный b меридианы эллипсоида Ф;

2. Относительно фокусов экватора и каждого из меридианов построить ортогона-льно-сопряженные с ними гиперболы (см. рис. 12.40);

3. По горизонтальным и фронтальным проекциям гипербол как меридианов дву-польного эллиптического гиперболоида S, сопряженного с данным эллипсоидом Ф, построить профильную проекцию g₃ его сечения профильными плоскостями g¹ и g²;

4. Построить проекции n_1, n_2, n₃ линии n пересечения поверхностей Ф и S;

5. Построить проекции m₃, m₂, m₁ линии m пересечения однопольного эллиптичес-кого гиперболоида W и эллипс k его сече-ние горизонтальной плоскостью w;

6. Построить проекции всех директрис и асимптот плоских сечений Ф, S и W.;

Рис. 16.98. Графическая модель двух эквидистантных кривых линий, лежащих в горизонтальной плоскости уровня

Рис. 16.99. Графическая модель двух эквидистантных линий, лежащих во фронтально-проецирующей плоскости

Рис.16.100. Графическая модель двух эквидистентных линий, лежащих в плоскости общего положения

7. Системно осмыслить и объединить полученные результаты в единое целое.