 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Графическая технология решения позиционных задач на касание плоскости и поверхности и сопряжение поверхностей
|
|
Графическая технология решения позиционных задач на пересечение кривых линий с поверхностями
Общие положения
Кривую линию а можно назвать ис-кривлённой прямой, а кривую поверхно-сть Ф,– искривлённой или деформиро-ванной плоскостью a. Отсюда следует, что рассматриваемая задача является обобщением вышерассмотренного (см. п.10.7) случая пересечения прямой ли-нии с плоскостью. Поэтому, обобщая алгоритм её решения, получаем алго-ритм решения поставленной задачи (рис.16.64):
1. заключить данную линию а во вс-помогательную секущую поверхность S. Если линия а – плоская кривая, то по-верхность S - плоскость её кривизны;
При этом вид секущего посредника оп-ределяется видом данной поверхности, с которой он должен пересекаться по наиболее простой линии b;
2. построить линию b пересечения поверхности Ф со вспомогательной се-кущей поверхностью S;
3. отметить точки M, N, Р,… пересе-чения линий а и b. Эти точки являются
искомыми точками встречи данной кри-
вой линии а с данной кривой поверхно-стью Ф.
Пример 16.20. Построить двухкартин-ный комплексный чертёж пересекающихся кривой линии а и цилиндрической поверх-ности Ф (рис.16.65).
Решение:. 1 Заключить кривую а в ци-линдрическую поверхность S, образующие которой параллельны образующим повер-хности Ф и построить её след а1¢ на плос-кости основания поверхности Ф. Эта опера-ция равносильна косоугольному проециро-ванию линии а на плоскость основания по-верхности Ф;
2.Отметить точки М1¢, N1¢ пересечения а1¢ с основанием Ф1 ¢ цилиндра Ф;
3. Обратным проецированием точек M1¢ и N1¢ на а1 построить горизонтальные про-екции M1 и N1 искомых точек встречи;
4. По М1 и N1 построить M2 и N2 на а2 и определить видимость проекций линии а.
Пример 16.21. Построить двухкартин-ный комплексный чертёж пересекающихся кривой линии а и конической поверхности Ф (рис.16.66).
Решение: 1. Из вершины S конуса Ф
как из центра спроецировать кривую линию а на плоскость его основания Ф и построить на ней след а1¢ конической поверхности S;
2. Отметить точки M1¢, N1 ¢, P1¢ пересе-чения следа а1¢ с основанием Ф1¢ конуса Ф;
3. Соединить полученные точки на Ф1¢ с S1 и отметить горизонтальные проекции М1, N1, P1 искомых точек встречи линии а и поверхности Ф;
4. По горизонтальным проекциям точек встречи линии а и поверхности Ф построить их фронтальные проекции M2,N2,P2 и опре-делить видимость проекций линии а.
|
Рис. 16. 67. Графическое решение позиционной задачи на пересечение кривой линии а с поверхностью вращения Ф
Пример 16.22. Построить двухкартин-ный комплексный чертёж пересекающихся кривой линии а и поверхности вращения Ф (рис.16.67).
Решение: 1.Заключить линию а в повер-хность S, образованную её вращением во-круг оси і поверхности Ф;
2. Построить очерки е1 горизонтальной и с2 фронтальной проекций поверхности вращения S;
3. Построить фронтальные проекции m2 и n2 параллелей m и n, определяемые точками пересечения фронтальных очерков поверхностей Ф и S;
4. Отметить точки пересечения M2 и N2 проекций m2 и n2 параллелей m и n с а2 и по ним построить горизонтальные проекции
M1 и N1 искомых точек встречи а и Ф.
|
Рис. 16.68. Графическая модель плоскости a, касательной к поверхности сжатого эллипсоида Ф, состоящей из эллиптических точек
|
Рис. 16.69. Графическая модель плоскостей a и b, касательных к поверхности цилиндра Ф, состоящей из параболических точек
Графическая технология решения позиционных задач на касание плоскости и поверхности и сопряжение поверхностей
16.6.1. Касание плоскости и поверхности
Определение 16.1. Плавное соеди-нение двух элементов эвклидова про-странства (плоскости и поверхности, двух поверхностей), при котором об-щий для них элемент принадлежит ка-сательной к ним плоскости называ-ется их касанием.
Если плоскость a касательна к по-верхности Ф, то, в зависимости от стру-ктуры последней их общим элементом может быть одна её обыкновенная точ-ка (см. рис.5.59), одна её прямолиней-ная образующая (см. рис.5.63, две пе-ресекающиеся прямые (см. рис.5.58, б) или одна плоская кривая (см. рис.5.58).
Утверждение 16.4. Плоскость a,заданная двумя пересекающимися пря-мыми, каждая из которых касательна к поверхности Ф в её обыкновенной точке А, является плоскостью, каса-тельной к поверхности.
Отсюда следует общий порядок по-строения плоскости, касательной к по-верхности (рис.16.68):
1. Через точку А (А1, А2) поверхнос-ти Ф (Ф1,Ф2) провести параллель а (а1, а2) и меридиан b (b1,b2);
2. Через точку А (А1, А2) провести прямую t 1 (t11, t21), касательную к парал-лели а (t11 ^ b1, t12 ^ t11) и прямую t2 (t21, t22), касательную к меридиану b (t21 ^ t11 , f22Î A2 Ù 12 = t22¢ ´ i2 ).
Плоскость a (t1 ´ t2) является иско-мой.
Определение 16.2. Поверхность, все точки которой располагаются по одну сторону от плоскости, касате-льной к ней в любой её обыкновенной точке, называется выпуклой.
Точки выпуклой поверхности явля-ются эллиптическими, по виду эллипти-ческой индикатрисы Дюпена (см. рис.5. 65).
Пример 16.23. Построить двухкар-тинный чертёж плоскости a, касатель-ной к цилиндрической поверхности Ф (рис. 16.69).
Решение: 1. Через точку А (А1, А2) про-вести прямую е (е2, е1), параллельную об-разующим поверхности Ф и построить точ-
ку А¢ (А2¢, А1¢) её встречи с плоскостью ос-
нования n (n1, n2) поверхности Ф;
2. Через точку А1¢ провести касатель-
ные а1 и b1 к основанию n1 проекции Ф1 по-верхности Ф и отметить точки 11 и 21 их ка-сания;
3. Через точки 1 (11,12) и 2 (21,22) про-вести образующие l1 и l2 поверхности Ф, ко-торые попарно с прямой е и касательными а и b определяют искомые плоскости a и b, касательные к поверхности Ф.
Утверждение 16.5 Если одна из прямых, определяющих плоскость a, касательную к поверхности Ф в обы-кновенной точк е А совпадает с её об-разующей, то такая поверхность яв-ляется развёртываемой.
К числу таких поверхностей отно-сятся торсовые – цилиндрические, ко-нические и с ребром возврата.
Все точки торсовых поверхностей являются параболическими, по виду ин-дикатрисы Дюпена (см. рис. 5.68)
Пример 16.24. Построить двухкартин-ный комплексный чертёж плоскостей a и b, проходящих через точку А и касатель-ную к конической поверхности Ф (рис.16. 70).
|
Рис. 16.70. Графическая модель плоскостей
a и b, проходящих через точку А и касательных к конической поверхности Ф
Решение: 1.Из вершины S (S1,S2) cп-роецировать точку А (А1, А2) на плоскость основания n поверхности Ф и построить её проекции А2¢ и А1¢;
2. Из А1¢ провести касательные t11 и t12 к проекции n1 основания n конуса Ф и отме-тить проекции 11 и 21 точек касания;
3. Соединить точки касания 11, 21 с S1 и
построить 12S2, 22S2. Треугольники S A¢1 и
|
Рис.16.71. Графическая модель плоскости a, касательной к поверхности вращения Ф, состоящей из гиперболических точек
a
|
Рис.16.72. Графическая модель двух вертикальных цилиндрических поверхностей, сопряженных двумя плоскостями
S A¢ 2 определяют искомые плоскости a и b, касательные к поверхности Ф.
Пример 16.25. Построить двухкартин - ный комплексный чертёж плоскости a касательной к поверхности вращения Ф в её обыкновенной точке А (рис.16.71 )
1.Провести параллель а (а2, а1) и меридиан b (b1, b2). Так как b1 на чертеже – радиальная прямая, то b2 строится по b1 на основе графического моделирования отно-шения принадлежности её точек к поверх-ности Ф;
2. Через точку А (А1, А2) провести каса-тельную t1 (t11, t21) к параллели а (а1, а 2):
(t1 ^ 11 A1, t2 º a2.) и касательную t2 (t12, t22) к
меридиану b (b1, b2): (t12 º 11 A1, t22 º 12A 2);
Касательные t1 и t2 к линиям а и b на поверхности Ф определяют искомую плос-кость a, касательную к этой поверхности.
Плоскость a, касательная к поверхности Ф в обыкновенной точке А, пересекает её по кривой m, проекции m1 и m2 которой строятся по графической технологии по-строения линии пересечения плоскости и поверхности вращения (см. п.16.2).
Утверждение 16.6. Если плоскость, касательная к поверхности в её обык-новенной точке, пересекает её, то такая поверхноcть является двояко-выпуклой.
К числу таковых относятся прямо-линейчатые поверхности Каталана, по-верхности о 3-х направляющих, с на-правляющей плоскостью, а также пове-рхности каналовые, циклические, кино-перспективные и многие из числа пове-рхностей вращения.
Все обыкновенные точки двояко-выпуклых поверхностей являются ги-перболическими, по виду их индика-трисы Дюпена (см. рис. 5.66).
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 542 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
