Група геометричних перетворень та її підгрупи

Розглянемо множину елементів довільної природи та вважатимемо, що на ній задана бінарна операція, тобто правило, за яким кожним двом елементам цієї множини поставлено у відповідність єдиний елемент цієї ж множини. Позначимо дану операцію символом .

Пару називають групою, якщо:

1) бінарна операція асоціативна, тобто для довільних елементів виконується рівність ,

2) існує елемент такий, що для довільного виконується умова (елемент у цьому випадку називають нейтральним),

3) для довільного у множині знайдеться елемент такий, що (елемент називають симетричним до та позначають ).

Нехай - деяка підмножина множини та є групою. Тоді її називають підгрупою групи .

Теорема. Для того, щоб група була підгрупою групи необхідно та достатньо, щоб виконувалися такі умови: 1) для довільних елементів елемент належить підмножині , 2) для довільного елемента симетричний до нього елемент теж належить множині .

Дальше ми побачимо важливість понять групи та підгрупи в геометрії, але спочатку зупинимось на деяких нових означеннях, які стосуються теорії геометричних перетворень.

Оскільки перетворення площини є взаємно однозначним відображенням, то поряд із кожним перетворенням , яке різним точкам площини ставить у відповідність їх різні образи, можна розглядати інше відображення, яке кожному образу ставить у відповідність його прообраз. Очевидно, що це відображення теж є перетворенням площини.

Таке перетворення називають оберненим до та позначають . Таким чином, якщо , то . Відмітимо, що серед наведених вище прикладів оберненим до паралельного перенесення на вектор є паралельне перенесення на вектор - , тобто , а перетворенням, оберненим до повороту навколо точки на кут є поворот навколо даної точки на кут - : . Нескладно переконатися також у тому, що , .

Розглянемо множину всіх перетворень площини та візьмемо з неї два довільні перетворення та . Нехай при перетворенні точка відображається у точку , а при перетворенні точка переходить у точку . Відображення, при якому точці ставиться у відповідність точка теж є перетворення площини, оскільки при кожному із виконаних перетвореннях та різні точки переходять у різні.

Одержане перетворення, яке ми позначимо через , називають композицією перетворень та і записують у виді . Отже, згідно із введеним означенням,

.

Покажемо, що пара , тобто множина всіх перетворень площини із введеною на ній бінарною операцією (композицією перетворень), утворює групу. Для доведення зауважимо, що для трьох довільних перетворень виконується рівність

. (1)

Справді, згідно з означенням композиції перетворень

.

Аналогічно

,

що завершує доведення рівності (1).

У ролі нейтрального елемента виступає тотожне перетворення , оскільки очевидно, що для довільного перетворення виконується рівність . На завершення доведення зауважимо, що, як було відмічено вище, для довільного перетворення існує обернене перетворення , яке у множині виконує роль оберненого (симетричного) елемента, оскільки .

Групу називають групою геометричнихперетворень.

Зауваження. Покажемо дещо інше за формою запису, але по суті аналогічне до розглянутого вище доведення рівності (1). Нехай , , (рис. 4).

Тоді , , тому і , що потрібно було довести.

Наведемо приклади підгруп групи геометричних перетворень.

1). Розглянемо множину всіх паралельних перенесень. Нехай при перетворенні точка переходить в точку , а при перетворенні точка переходить в точку , тобто , . Тоді, оскільки , то , тобто композиція двох розглянутих паралельних перенесень є паралельне перенесення. Як було сказано вище, оберненим до паралельного перенесення на вектор є паралельне перенесення на вектор - , тобто . Тому множина всіх паралельних перенесень утворює підгрупу групи геометричних перетворень.

2). Розглянемо множину всіх поворотів навколо фіксованої точки . Нехай при повороті точка переходить в точку , а при повороті точка переходить в точку . Тоді, оскільки і , то

, тобто композиція двох поворотів із спільним центром є поворот навколо даного центра. Перетворенням, оберненим до повороту навколо точки на кут є поворот навколо даної точки на кут - : . Отже, множина всіх поворотів навколо фіксованого центра теж утворює підгрупу групи геометричних перетворень.