Замена декартовой системы координат

Основные утверждения

Пусть в пространстве задана декартова система координат с началом в точке О и базисом ; вторая же система координат имеет начало в точке О' и базис . Положим, что координаты точки О' и векторов в первой системе координат будут соответственно , , Если при этом координаты точки М в первой системе координат есть , а во второй – , то справедливы формулы:

Задача 46. В пространстве даны два базиса и Векторы второго базиса имеют относительно первого базиса координаты , , соответственно.

1) Найти координаты вектора в первом базисе, если известны его координаты во втором базисе.

2) Найти координаты вектора во втором базисе, если известны его координаты в первом базисе.

3) Найти координаты векторов во втором базисе.

Задача 47. Координаты каждой точки пространства в системе координат О, выражаются через координаты этой же точки в системе формулами .

1) Выразить координаты через координаты

2) Найти координаты начала и базисных векторов первой системы координат во второй системе.

3) Найти координаты начала и базисных векторов второй системы в первой системе.

Задача 48. Найти координаты точки в системе координат , в пространстве, если известны ее координаты в системе координат , , ,

Задача 49. Дан правильный шестиугольник . Найти координаты точки плоскости в системе координат , если известны ее координаты в системе координат .

Задача 50. На плоскости даны две прямоугольные системы координат и , . Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты (1,3), а векторы получаются из векторов , соответственно, поворотом на один и тот же угол в направлении кратчайшего поворота от к . Найти координаты точки в первой системе координат, если известны ее координаты во второй системе, считая угол равным: