Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Основные типы уравнений прямой линии
Векторно-параметрическое уравнение прямой линии:
. (12)
Каноническое уравнение прямой:
(13)
Отметим, что одновременно l, m, n не могут обратиться в 0.
Уравнения (13) можно рассматривать как сокращенную форму записи, например, такой системы:
Связкой прямых будем называть совокупность прямых пространства, проходящих через фиксированную точку, либо попарно параллельных.
Прямую L назовем общим перпендикуляром к прямым L1 и L2, если она перпендикулярна к каждой прямой и с обеими пересекается.
Основные утверждения
Пусть – радиус-вектор фиксированной точки прямой l, a – направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение
,
где t - параметр, принимающий действительные значения, будет уравнением прямой L.
Пусть прямая L в пространстве проходит через точку параллельно вектору . Тогда ее координатно-параметрические и канонические уравнения, соответственно, имеют вид
x=x0+lt, y=y0+mt, z=z0+nt,
Если – направляющий вектор прямой L в пространстве и – радиус-вектор фиксированной точки прямой L, то уравнение
является уравнением прямой L.
Если прямая L в пространстве является пересечением двух плоскостей, заданных общими уравнениями, т.е. ее точки удовлетворяют системе уравнений
то в качестве направляющего вектора прямой можно выбрать следующий вектор:
Утверждение 5. Если прямая L на плоскости задана нормальным уравнением и – произвольная точка плоскости, то расстояние от точки М до прямой L определяется формулой
.
Пусть в пространстве точка М имеет координаты , прямая L проходит через точку параллельно вектору , система координат прямоугольная. Тогда расстояние от точки М до прямой L будет следующим:
.
Пусть в пространстве заданы две непараллельные прямые L1 и L2,, имеющие направляющие векторы и , проходящие через точки и соответственно. Система координат прямоугольная. Тогда уравнение общего перпендикуляра задается системой уравнений:
, ,
где
.
Если L1 и L2 – скрещивающиеся прямые, которые проходят через точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2) параллельно векторам и соответственно, то расстояние между прямыми L1 и L2 можно определить по формуле , где ,
.
Если П – алгебраическая поверхность (линия L) порядка k и l – прямая, то число точек пересечения поверхности П (линии L) и прямой l не превосходит k.
Задача 82. Найти необходимые и достаточные условия, при которых прямые и
1) пересекаются (т.е. имеют единственную общую точку);
2) скрещиваются;
3) параллельны, но не совпадают;
4) совпадают.
Задача 83. Даны две прямые. Установить, пересекаются они, скрещиваются, параллельны или совпадают. Если прямые пересекаются или параллельны, составить уравнение плоскости, в которой они лежат. Если прямые пересекаются, найти также координаты точки их пересечения.
1) и
2) и
3) и
4) и
5) и
Задача 84. [2,6.28] Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной прямым и
.
Задача 85 (с решением). Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (1,1,1) и параллельной плоскостям x+ 3 y –4 z+ 1 = 0, x= 0, а так же записать векторно-параметрическое и параметрическое уравнение этой прямой.
Решение. Для того чтобы написать каноническое уравнение данной прямой, надо знать точку, через которую она проходит, и направляющий вектор. Направляющий вектор находим по формуле
.
Каноническим уравнением данной прямой будет уравнение
,
векторно-параметрическим , где =(1,1,1), = (0, –4, –3), параметрическим x = 1, y = 1–4 t, z = 1-3 t.
Задача 86(с решением). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки (3, 2, 1) на прямую .
Решение. Искомый перпендикуляр лежит в плоскости π, ортогональной заданной прямой l, направляющий вектор которой равен . Поэтому уравнение плоскости π имеет вид
2 x+ 4 y+z+D= 0,
где константу D определяем из условия, что π:
есть искомое уравнение плоскости. Основание перпендикуляра имеет координаты (), удовлетворяющие соотношениям
,
2 x + 4 y +z -1 5=0,
откуда получаем ().
Следовательно, искомая прямая описывается соотношениями
или
.
Задача 87 (с решением). Найти проекцию прямой
2 x+ 3 y+ 4 z+ 5=0,
x- 6 y+ 3 z-7= 0
на плоскость 2 x+ 2 y+z –15=0.
Решение. Искомая проекция может быть задана как прямая пересечения плоскости π 2x+2y+z+5=0 с ортогональной к ней плоскостью π, проходящей через заданную прямую l. Последнее означает, что плоскость π является элементом пучка, образованного плоскостями π 2 x+ 3 y+ 4 z+ 5=0 и π2 x- 6 y+ 3 z- 7=0. Следовате л ьно, уравнение π имеет вид
Условие ортогональности плоскостей π и π дает
откуда
и уравнение плоскости π есть 4 x- 9 y+ 10 z-9=0, а уравнение ортогональ-ной проекции
2 x+ 2 y+z- 15=0,
4 x –9 y+ 10 z –9=0.
Задача 88. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую, заданную уравнениями:
1)
2)
Задача 89. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и пересекающей две данные прямые:
1) и
2) и
Задача 90. Найти угол между прямыми:
1) и
2) и
Задача 91. Плоскости являются соответственно плоскостями новой системы координат, а точка имеет в новой системе координаты (1,1,1).
1) Найти координаты точки в исходной системе координат, если известны ее координаты в новой системе координат.
2) Составить в новой координатной системе канонические уравнения прямой, которая в исходной системе задается уравнениями .
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 1165 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!