![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Основные определения
Будем говорить, что задана декартова система координат (на плоскости или в пространстве), если задан базис и зафиксирована некоторая точка О, называемая началом координат.
Декартовыми координатами точки М будем называть координаты вектора в указанном базисе.
Будем говорить, что нам задана полярная система координат на плоскости, если на плоскости зафиксирован некоторый луч с началом в точке О. Полярными координатами точки М плоскости будем называть пару чисел (r, j) где и j - угол между полярной осью и радиус-вектором
.
Пусть в пространстве зафиксированы плоскость p, находящиеся на ней точка О и луч ОК, и ось OZ, перпендикулярная плоскости p. Цилиндрическими координатами точки М будем называть упорядоченную тройку чисел где
- полярные координаты ортогональной проекции точки М на плоскость p и z - координата на оси OZ ортогональной проекции точки М на эту ось.
Пусть в пространстве зафиксирована плоскость p с заданным на ней лучом ОК и перпендикулярный к p луч ОН. Тогда сферическими координатами точки М будем считать упорядоченную тройку чисел , где
– длина радиус-вектора
,
– угол между осью ОК и ортогональной проекцией
на плоскость p, и
–угол между осью ОН и вектором
.
Будем говорить, что точка С делит отрезок АВ в отношении l, если АC = l СВ.
Если – базис заданного множества векторов (плоскости или пространства) и
– второй базис в этом же множестве, то матрицей перехода от первого ко второму базису будем называть матрицу
, где
есть коэффициенты разложения
элементов второго базиса по первому базису.
Основные утверждения
Если прямоугольную декартову систему координат на плоскости выбрать согласованной с полярной, то полярные и декартовы координаты точки М будут связаны соотношениями:
или
Если прямоугольную декартову систему координат в пространстве выбрать согласованной с цилиндрической, то справедливы соотношения: x = r cos , y = r sin
, z = Z, где
– цилиндрические координаты точки М.
Если декартову прямоугольную систему координат выбрать согласованной со сферической, то справедливы следующие формулы, связывающие сферические и декартовы координаты:
x = sin
cos
, y =
sin
sin
, z =
cos
,
Если точки и
заданы своими координатами в декартовой системе координат, то вектор
имеет координаты
.
Если точка делит отрезок АВ в отношении l, то
Пусть в точках , радиус-векторы которых
соответственно, находятся массы
. Тогда радиус-вектор центра тяжести
Обратно, если задан радиус-вектор центра тяжести и число точек п = 3 в случае их расположения на плоскости или п = 4 в случае пространства, то массы могут быть определены с точностью до некоторого множителя k. Отметим, что в сформулированном утверждении можно допустить и отрицательные значения чисел mi, в этом случае центр тяжести находится вне многоугольника
.
Задача 14. Дан правильный шестиугольник . Принимая за начало координат вершину
, а за базисные векторы
и
, найти координаты вершин шестиугольника и его центра.
Задача 15. Дан параллелепипед . Принимая за начало координат вершину
, а за базисные векторы
и
, найти координаты:
1) вершин и
;
2) точек и
- середин ребер
и
соответственно;
3) точек и
пересечения диагоналей граней
и
соответственно;
4) точки пересечения диагоналей параллелепипеда.
Задача 16. Даны две различные точки ,
. Найти координаты:
1) точки , лежащей на отрезке
и такой, что
;
2) точки , лежащей на прямой
вне отрезка
и такой, что
.
Задача 17. [2,1.32] В точках, имеющих радиус–векторы , сосредоточены массы
. Найти радиус–вектор центра тяжести этой материальной системы.
Задача 18. Один из концов отрезка находится в точке , его серединой служит точка
. Найти другой конец отрезка. Система координат аффинная.
Задача 19. Даны вершины треугольника: и
. Найти третью вершину
, зная, что середина стороны
лежит на оси
, а середина стороны
на плоскости
. Система координат аффинная.
Задача 20. Дан правильный шестиугольник , длина стороны которого равна 1. Приняв за полюс вершину
, за положительное направление полярной оси – направление вектора
, а за положительное направление отсчета углов – направление кратчайшего поворота от
к
, определить в этой системе полярные координаты вершин шестиугольника и его центра.
Задача 21. Относительно полярной системы координат даны точки ,
,
,
. Какие координаты будут иметь эти точки, если повернуть полярную ось вокруг полюса в положительном направлении на угол
?
Задача 22. Найти прямоугольные координаты точки, лежащей на шаре радиуса 1, зная ее широту и долготу
.
Задача 23. Найти цилиндрические координаты точек по их прямоугольным координатам:
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 1116 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!