Плоскость в пространстве

Основные типы уравнений плоскости

Векторно-параметрическое уравнение плоскости:

. (9)

Общее уравнение плоскости:

Ax+By+Cz+D= 0. (10)

Нормальное уравнение плоскости:

x cos +y cos +z cos -p = 0, (11)

где – координаты вектора единичной длины, перпендикулярного к плоскости.

Уравнение в отрезках на осях имеет вид .

Примечание: Уравнения (11) и уравнение в отрезках на осях являются частными разновидностями уравнения (10).

Основные определения

Пучком плоскостей в пространстве назовем совокупность плоскостей, проходящих через фиксированную прямую, либо попарно параллельных.

Связкой плоскостей в пространстве назовем совокупность плоскостей в пространстве, проходящих через фиксированную точку.

Пусть плоскость p параллельна двум неколлинеарным векторам и и проходит через точку с радиус-вектором . Тогда уравнение плоскости имеет вид

,

где – радиус-вектор текущей точки плоскости, u, v – числовые параметры, принимающие действительные значения.

Если плоскость p параллельна двум неколлинеарным векторам и и проходит через точку М(х₀, у₀, z₀), то координатно-параметрические уравнения этой плоскости имеют вид

где .

Общее уравнение плоскости имеет вид

Ах + By + Cz + D = 0,

где A²+B²+C²=0.

Если плоскость p перпендикулярна ненулевому вектору и проходит через точку, радиус-вектор которой , то уравнение этой плоскости можно представить в виде

,

где – радиус-вектор текущей точки плоскости p.

Если система координат в пространстве прямоугольная, р – расстояние от начала координат до плоскости p и a, b, g – углы между лучом, проведенным от начала координат перпендикулярно к плоскости p, и осями координат OX, OY, OZ соответственно, то общее уравнение плоскости может быть записано в виде

.

Если плоскость p проходит параллельно двум неколлинеарным векто­рам и – через точку, радиус-вектор которой , то уравнение плоскости p с помощью смешанного произведения векторов можно задать в виде

Если плоскость p пересекает оси OX,OY,OZ в точках (а, 0, 0 ), ( 0, b, 0 ) и ( 0, 0, с) соответственно и , то общее уравнение прямой можно записать в виде

Если в пространстве заданы точки A(x₀, y₀, z₀), B(x₁,y₁, z₁), C(x₂, y₂, z₂), не лежащие на одной прямой, то уравнение плоскости, проходящей через эти три точки, мож­но записать в виде

.

Если плоскость p задана общим уравнением Ах+By+Cz+D=0, то необходимым и достаточным условием параллельности плоскости p и вектора будет следующее:

Al+Bm+Cn=0.

Плоскости p₁ и p₂, задаваемые уравнениями A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 соответственно, будут параллельны тогда и только тогда, когда существует l такое, что A₁= l A₂, B₁= l B₂, C₁= l C₂.

Если и D₁= l D₂, то p₁ и p₂ совпадают.

Пусть две плоскости ( и ) принадлежат одному пучку. Тогда любая плоскость этого пучка задается уравнением

.

Если плоскость p задана в прямоугольных координатах уравнением Ax+By+Cz+D=0, то вектор перпендикулярен к плоскости p.

Примечание. Аналогичное утверждение нетрудно сформулировать относительно взаимного расположения двух точек и плоскости в пространстве.

Пусть в прямоугольной системе координат заданы уравнения плос­костей p₁ и p₂: и . Тогда наименьший из углов между плоскостями p₁ и p₂ можно определить из формулы

.

Пусть в прямоугольной системе координат задан вектор и плоскость p: Ax+By+Cz+D= 0. Тогда угол a между вектором и плоскостью p удовлетворяет уравнению

.

Задача 74. Точка лежит в плоскости , вектор имеет координаты . Доказать, что точка лежит в положительном полупространстве относительно данной плоскости.

Задача 75. 1) Зная параметрические уравнения плоскости:

, составить ее общее уравнение.

2) Зная общее уравнение плоскости , составить ее параметрические уравнения.

Задача 76. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной плоскости:

1)

2)

3)

4)

5) .

Задача 77. Составить уравнения плоскостей, проходящих через точку и равноудаленных от трех точек и .

Задача 78. В пучке, определяемом плоскостями и
найти две перпендикулярные друг другу плоскости, одна из которых проходит через точку

Задача 79 (с решением). В прямоугольной системе координат заданы плоскости π и π

x-2y+z+4=0, 2x+y – z – 7=0.

Найти уравнение биссекторной плоскости π того двугранного угла, образованного π π , которому принадлежит точка (1,1,1).

Решение. Искомую плоскость π образуют те точки M (x,y,z), которые равноудалены от π и π и лежат в одном с точкой M квадранте,

M 0(x,y,z)

π

образованном плоскостями π и π . Расстояние и от точки M(x,y,z) до плоскостей π и π находятся по формулам

ρ =

но точки М₀ и M одинаково расположены относительно плоскостей π и π₂, поэтому

Следовательно,

ρ = , ρ =

и из условия ρ = ρ получаем

3 x-y- 3 =0.

Задача 80. Найти угол между плоскостями:

1) и

2) и

Задача 81. Составить уравнение биссекторной плоскости того двугранного угла между плоскостями и внутри которого лежит точка