Проекции. Скалярное произведение векторов

Основные определения

Число, равное будем называть скалярным произведением векторов и , обозначая его (, ).

Примечание. Скалярное произведение является числовой функцией двух векторных аргументов.

Система векторов называется ортогональной, если скалярное произведение любых двух векторов и , при равно нулю.

Ортогональная система векторов называется ортонормированной, если векторы этой системы имеют единичную длину.

Основные утверждения

Скалярное произведение как функция двух векторных аргументов обладает следующими свойствами:

1) - симметричность;

2) - линейность;

3) – положительная определенность.

Обратно, любая действительная функция двух векторных аргументов на плоскости или в пространстве, удовлетворяющая свойствам (1)-(3) совпадает со скалярным произведением.

Для любых двух векторов и справедливы утверждения:

1) (отметим, что нулевой вектор будем считать перпендикулярным ко всем векторам);

2)

3) , здесь - угол между векторами и ;

4) если - ортогональная проекция вектора на ненулевой вектор , то ;

5) если - ортонормированный базис и координатные строчки векторов и в этом базисе и соответственно, то

Если – ортонормированный базис и – произвольный вектор, то

Задача 24. Дан равносторонний треугольник , длины сторон которого равны 1. Вычислить выражение

Задача 25. В треугольнике проведены медианы . Вычислить выражение

Задача 26. Найти скалярное произведение векторов и , если:

1) ;

2) ;

3) ;

4) и сонаправлены;

5) и противоположно направлены.

Задача 27. Найти скалярное произведение векторов и , заданных своими координатами:

1) ;

2) ;

3) .

Задача 28. Найти угол между векторами и , заданными своими координатами:

1) ;

2)

Задача 29. Найти расстояние между точками и , заданными своими координатами:

1)

2)

Задача 30. Дан вектор . Найти ортогональную проекцию вектора на прямую, направление которой определяется вектором , и ортогональную составляющую вектора относительно этой прямой, если вектор имеет координаты:

Задача 31. Объяснить геометрический смысл всех решений векторного уравнения , а также его частного решения, коллинеарного вектору :

1) в плоском случае;

2) в пространственном случае.

Задача 32. Дан произвольный тетраэдр . Доказать: если перпендикулярны ребра и и ребра и , то ребра и также перпендикулярны.

Задача 33. Найти сумму векторов, являющихся ортогональными проекциями вектора на стороны квадрата.

Задача 34. Найти из условия , где – некомпланарные векторы.