Базис, координаты векторов

Основные определения

Выражение вида будем называть линейной комбинацией векторов с коэффициентами . Если все коэффициенты линейной комбинации равны 0, то будем называть ее тривиальной линейной комбинацией.

Система векторов называется линейно зависимой, если существует некоторая нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору, и линейно независимой – в противном случае.

Система векторов называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов этой системы равен линейной комбинации остальных векторов.

Будем говорить, что векторы и коллинеарны, если прямые АВ и CD параллельны.

Назовем векторы , ,…, компланарными, если существует плоскость , которая параллельна одновременно всем прямым А₁B₁, А₂B₂ ,...., А_kB_k.

Базисом на прямой назовем ненулевой вектор, лежащий на этой прямой. В некоторых случаях базисный вектор прямой будем называть направляющим вектором этой прямой.

Базисом на плоскости назовем упорядоченную пару неколлинеарных векторов.

Базисом в пространстве будем называть упорядоченную тройку некомпланарных векторов.

Если – базис совокупности векторов (пространства, плоскости или прямой) и то числа называются координатами вектора в заданном базисе.

Примечание: Отметим, что в соответствии с определением координаты вектора в пространстве составляют упорядоченную тройку чисел, координатами вектора плоскости является упорядоченная пара чисел и координатой вектора прямой является единственное число.

Задача 7. Доказать утверждения: 1) конечная система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима; 2) конечная система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима.

Задача 8. Даны три вектора . Найти координаты векторов , .

Задача 9. Проверить, что векторы и образуют базис на плоскости. Найти координаты векторов и в этом базисе.

Задача 10. Проверить, что векторы , и образуют базис в пространстве. Найти координаты векторов , и в этом базисе.

Задача 11. В параллелограмме точка - середина отрезка и – точка пересечения диагоналей. Принимая за базисные векторы и , найти в этом базисе координаты векторов .

Задача 12. Дан правильный шестиугольник . Принимая за базисные векторы и , найти в этом базисе координаты векторов .

Задача 13. В треугольнике проведена биссектриса . Найти координаты вектора в базисе, образованном векторами и .