Аксиоматика Гильберта и векторная алгебра

Федеральное государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Сибирский федеральный университет»

Методическое ПОсобие по ДИСЦИПЛИНе

Дисциплина __ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ___________________________

(наименование дисциплины в соответствии с ФГОС ВПО и учебным планом)

Укрупненная группа 010000 Физико-математические науки и фундаментальная информатика

Направление

010100 Математика

010200 Математика и компьютерные науки

010600 Механика и математическое моделирование ________________________________________________

Факультет __ Математики и информатики ____________________

Кафедра _____ алгебры и математической логики_______________

Красноярск

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МОДУЛЬ I

ЗАНЯТИЕ 1

Аксиоматика Гильберта и векторная алгебра

Основные определения

Вектор – упорядоченная пара точек А, В. Обозначаем вектор . При этом первую точку А будем называть началом, а вторую В – концом вектора. Длину отрезка АВ, или, что то же самое, расстояние между точками А и В будем называть длиной вектора и обозначать .

Векторы и будем называть равными, если существует параллельный перенос, отображающий А в С, В в D. При этом будем использовать запись = .

Совокупность всех равных между собой векторов будем называть свободным вектором. Обозначается свободный вектор строчными буквами латинского алфавита со стрелкой наверху: , и т.д. Можно использовать также запись вида = , = и т.д.

Примечание к определению 3. Аналогичная ситуация возникает при введении рациональных чисел: вначале дается определение рациональной дроби, затем – условие равенства дробей, и наконец, констатируется, что все равные между собой дроби представляют одно и то же рациональное число. Например: число можно представить и как , и, наконец, .

Пусть = и , тогда суммой векторов и будем называть вектор . Обозначим сумму + или + .

Векторы и будем называть сонаправленными, если существует параллельный перенос, отображающий луч АВ в луч CD.

Если l – действительное число и – произвольный вектор, то произведением вектора на число l назовем вектор длины , сонаправленный с , если l > 0, и противоположно-направленный с , если l < 0.

Пусть дано множество точек плоскости. Если l₁ и l₂ - две пересекающиеся прямые и А – точка этой плоскости, то проекцией точки А на прямую l₂ параллельно l₁ считаем точку А', являющуюся пересечением l₂ и прямой, которая проходит через А параллельно l_{1 .}

Если – вектор плоскости, то проекцией вектора на прямую l₂ параллельно l₁ будем называть вектор , где А' и

В' – проекции А и В на l₂ параллельно l₁.

Пусть в пространстве заданы прямая l и плоскость p, имеющие одну общую точку. Если А – произвольная точка пространства и l', p' – прямая и плоскость, проходящие через А и параллельные соответственно l и p, то пересечения и именуем соответственно проекцией A на параллельно l и проекцией А на l параллельно .

Пусть – вектор пространства, l – прямая и – плоскость, пересекающиеся в точке. Проекцией вектора на плоскость параллельно l назовем вектор , где А', В' – соответствующие проекции точек А и В.

Основные утверждения

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

1) каковы бы ни были , ;

2) для любых и ;

3) существует вектор такой, что ;

4) для любого вектора существует вектор такой, что (вектор будем обозначать через - и называть противоположным вектору ).

Операция умножения векторов на число обладает следующими свойствами:

1) 1* = ,

2) a(b )=(ab) ,

3) (a+b) =a +b ,

4) a( + )=a +a .

Проекция суммы векторов равна сумме проекций слагаемых. Проекция произведения вектора на число равна произведению проекции на это же число.

Задача 1 (с решением). Векторы и служат диагоналями параллелограмма ABCD. Выразить через векторы и векторы , являющиеся сторонами этого параллелограмма.

Решение.

B C

A D