![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Термин «кватернион» принадлежит ирландскому математику Уильяму Роуэну Гамильтону, и был введен им в 1843 году. Так как комплексные числа имеют вид а + bi, то есть состоят из двух частей, комплексные числа – это своего рода «двойные числа».
Замечание: в ряде источников двойными называются числа вида а + bi, где i 2 = 1, а числа вида а + bi, где i 2 = 0 называются дуальными. Разумеется, не следует путать эти числа с комплексными.
Буквально, слово «кватернионы» означает «четверные числа», то есть числа, имеющие вид
х + уi + uj + vk,
где i 2 = j 2 = k 2 = –1. Иными словами, к действительным числам добавляют не одну, а сразу три мнимые единицы. Возникает вопрос, а почему же не рассмотреть вначале «тройные числа», то есть множество с двумя мнимыми единицами, а не с тремя. Сначала ответим на вопрос, а можно ли вообще добавить к полю комплексных чисел еще одну новую мнимую единицу так, чтобы построенное множество сохранило структуру поля. Оказывается ответ на этот вопрос отрицательный. Действительно, равенство i 2 = j 2 (= –1) можно переписать в виде i 2 – j 2 = 0, что равносильно в поле равенству (i – j)(i + j) = 0. В поле произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, то есть j = ± i, то есть, добавляя число j к полю комплексных чисел, мы не вносим в это поле ничего нового. Заметим, однако, что полученный вывод в неявном виде опирается на коммутативный закон умножения (при доказательстве формулы сокращенного умножения
i 2 – j 2 = (i – j)(i + j)
используется тот факт, что ij = ji). Однако операции над целым рядом математических (и физических) объектов свойством коммутативности не обладают. Поэтому дальнейшее расширение понятие числа в математике пошло по пути отказа от коммутативного закона.
Определение. Телом называется ненулевое кольцо с единицей, в котором каждый элемент отличный от нуля имеет обратный.
Уменьшив свои требования, то есть отказавшись от коммутативного закона, попробуем найти некоммутативное тело К, содержащее в себе новую мнимую единицу j, не совпадающую ни с одним из комплексных чисел (при этом, разумеется, коммутативный закон сохраняется для перемножения действительных или комплексных чисел, а вот j может и не быть перестановочным с некоторыми комплексными числами). Так как тело, по определению, является кольцом, элемент ij также должен принадлежать искомому телу. Предположим, что существует тело, состоящее из «тройных чисел» и произведение ij принадлежит этому телу, то есть ij = c 0 + c 1 i + c 2 j, где с 0, с 1, с 2 – действительные числа. Умножим обе части этого равенства на i слева. Получим:
– j = c 0 i – c 1 + c 2 ij = c 0 i – c 1 + c2(c 0 + c 1 i + c 2 j),
откуда
(с 0 с 2 – с 1) + (с 0 + с 1 с 2) i + (1 + с 22) j = 0.
1 + с 22 ≠ 0 (c 2 – число действительное), следовательно,
j = ,
то есть j вновь является обычным комплексным числом. Поэтому для построения нового числового множества необходимо потребовать, чтобы ij также было новым числом. У. Гамильтон доказал, что необходимо потребовать, чтобы (ij)2 = –1, то есть необходима ещё одна мнимая единица, которую обозначим символом k. Добавление такой мнимой единицы уже приводит к построению нового числового множества, которое и будем называть телом кватернионов.
Определение. Системой кватернионов называется тело, удовлетворяющее условиям:
1) оно содержит в себе поле комплексных чисел;
2) оно содержит новую мнимую единицу j (j 2 = –1), которая не является комплексным числом, причём мнимая единица перестановочна с любым действительным числом;
3) (ij)2 = – 1;
4) всякий элемент системы кватернионов представим в виде с 1 + с 2 j, где с 1, с 2 – комплексные числа.
Всякий элемент данной системы называется кватернионом, а система кватернионов также называется телом кватернионов.
Обозначим ij = k, тогда i 2 = j2 = k2 = ijk = –1. Умножение мнимых единиц осуществляется по правилам:
ij = k, ji = – k,
jk = i, kj = – i,
ki = j, ik = – j.
Последние пять равенств выводятся из равенства ij = k путём умножения его слева или справа на различные (удобные) мнимые единицы. Например, умножая первое равенство на i слева, получим
i 2 j = ik –j = ik ik =– j.
Затем умножаем, например, полученное равенство на k справа:
–jk = ik2 –jk = –i jk = i
и так далее.
Запомнить эту «таблицу умножения» помогает рис.1, на котором кватернионы i, j, k изображены тремя точками окружности, расположенными по направлению движения часовой стрелки в алфавитном порядке. Произведение любых двух чисел из тройки i, j, k равно третьему, если движение от первого множителя ко второму происходит по часовой стрелке, и равно третьему со знаком минус, если движение происходит против часовой стрелки. Как видим, переместительное свойство умножения здесь не выполняется: произведение зависит от порядка сомножителей.
Рис. 1. Схема перемножения кватернионных мнимых единиц
Если с 1 = х + уi, c 2 = u + vi, то произвольный кватернион будет иметь вид
с 1 + с 2 j = х + уi + (u + vi) j = х + уi + uj + vk.
Такое представление кватерниона называется его алгебраической формой. Первое слагаемое называется скалярной частью кватерниона, уi + uj + vk – векторной частью. Аналогично можно выразить кватернион и, например, в виде z 1 + z 2 i, где z n = a n + b n j (n = 1, 2):
z 1 + iz 2 = а 1 + b 1 j + i ×(a 2 + b 2 j) = а 1 + b 1 j + a 2 i + b 2 k.
Арифметические действия над кватернионами выполняются согласно обычным правилам раскрытия скобок. Так сумма двух кватернионов вычисляется по формуле
x 1 + y 1 i + u 1 j + v 1 k + x 2 + y 2 i + u 2 j + v 2 k =
= (x 1 + x 2) + (y 1 + y 2) i + (u 1 + u 2) j + (v 1 + v 2) k,
а произведение по формуле
(x 1 + y 1 i + u 1 j + v 1 k) (x 2 + y 2 i + u 2 j + v 2 k) =
= (x 1 x 2 – u 1 u 2 – y 1 y 2– v 1 v 2) + (y 1 x 2 – v 1 u 2 + x 1 y 2 + u 1 v 2) i + (u 1 x 2 + x 1 u 2 + v 1 y 2 – y 1 v 2) j +
+(v 1 x 2 +y 1 u 2 – u 1 y 2 + x 1 v 2) k.
Вывод последней формулы осуществляется непосредственно на основании дистрибутивного закона и таблицы умножения кватернионных мнимых единиц. Однако видно, что этот вывод весьма громоздок, a формула не слишком легка для запоминания. Для облегчения выполнения умножения кватернионов можно прибегнуть к матричной модели кватернионов в алгебраической форме.
Поскольку, по определению алгебраической формы комплексного числа, х и у являются действительными, матричная модель комплексного числа не изменится если каждому комплексному числу ставить в соответствии матрицу (черта сверху означает комплексное сопряжение), так как комплексно-сопряжённое к действительному числу рано самому этому числу, то есть
= х для всех действительных х.
Теперь вернемся к представлению кватернионов в виде
z 1 + iz 2 = а 1 + b 1 j + i ×(a 2 + b 2 j) = а 1 + b 1 j + a 2 i + b 2 k.
Кватерниону z 1 + i×z 2 можно поставить в соответствие матрицу . Отличие от модели для комплексных чисел будет состоять в том, что элементы матрицы теперь являются не действительными, а комплексными числами (знак сопряжения теперь будет играть существенную роль). Операции в построенной матричной модели вновь будут согласованы с операциями над кватернионами. Далее, каждый элемент матрицы
можно, в свою очередь, заменить на матрицу, задающую данное комплексное число, и мы получим блочную матрицу, состоящую из четырёх клеток, каждая клетка которой есть матрица размера 2х2, или же матрицу размера 4х4 с действительными элементами:
,
соответствующую кватерниону а 1 + a 2 i + b 1 j + b 2 k. Непосредственной проверкой убеждаемся, что действия над такими матрицами соответствуют действиям над кватернионами. Таким образом, кватернион можно представлять либо матрицей 2х2 с комплексными коэффициентами, либо матрицей 4х4 с действительными коэффициентами.
Матричное представление удобно использовать для выполнения умножения кватернионов, заметив при этом, что для получения результата нет необходимости выписывать обе матрицы целиком. Все коэффициенты кватерниона уже представлены в первом столбце матрицы (обратите внимание, что коэффициент при мнимой единице i находится на третьем месте, а при j – на втором), поэтому для получения ответа нам достаточно найти только первый столбец результата. Для этого можно первую матрицу выписать целиком, у второй же матрицы выписать только первый столбец.
Вычислим, например, матричным способом произведение кватернионов, которое было приведено выше: (x 1 + y 1 i + u 1 j + v 1 k) (x 2 + y 2 i + u 2 j + v 2 k).
Полностью выпишем матрицу, соответствующую первому кватерниону. Верхняя левая клетка определяется числом х 1 + u 1 j: , нижняя правая клетка – числом сопряжённым к этому числу, то есть числом х 1 – u 1 j:
(заметим, что полученные матрицы также являются сопряженными друг к другу согласно определениям принятым в курсе линейной алгебры, где под сопряжённой матрицей понимается матрица транспонированная по отношению к исходной, все элементы которой являются комплексно-сопряжёнными к элементам исходной матрицы). Две другие клетки определяются компонентами y 1 и v 1: левая нижняя клетка – это матрица
, правая верхняя –
(матрица транспонированная к матрице
и взятая со знаком минус). Таким образом, первый кватернион задается матрицей
.
Матрица второго кватерниона – такая же, только все индексы равны двум. Выписывать эту матрицу нет необходимости, достаточно выписать её первый столбец (х 2, u 2, y 2, v 2)T – это все коэффициенты кватерниона, коэффициент при j выписывается раньше, чем коэффициент при i.
=
,
что соответствует кватерниону
(x 1 x 2 – u 1 u 2 – y 1 y 2– v 1 v 2) + (y 1 x 2 – v 1 u 2 + x 1 y 2 + u 1 v 2) i + (u 1 x 2 + x 1 u 2 + v 1 y 2 – y 1 v 2) j +
+(v 1 x 2 +y 1 u 2 – u 1 y 2 + x 1 v 2) k.
Данный результат полностью совпадает с полученным ранее путём раскрытия скобок.
Модулем кватерниона называется квадратный корень из суммы квадратов коэффициентов его представления в алгебраической форме
| q | = .
Любой кватернион можно нормировать, поделив его на его норму (поделив его на ). Полученный в результате кватернион будет иметь норму равную единице. Такой кватернион называется нормированным. Пусть дан кватернион q = x + yi + uj + vk. Сопряженным ему называется кватернион
= x – yi – uj – vk.
Также как и для случая с комплексными числами, имеет место равенство q = | q |2.
Доказательство:
=
,
то есть q =
+ 0 i + 0 j + 0 k = | q |2.
Аналогично доказывается, что q = | q |2.
Для каждого ненулевого кватерниона существует ему обратный. Обратным по отношению к кватерниону q называется кватернион q- 1, обладающий свойством
q · q- 1 = q- 1· q = 1.
Обратный кватернион находится по правилу, весьма похожему на правило нахождения обратного к комплексному числу:
q –1 = .
Действительно, q =
q =
=
=1.
При описании деления кватернионов, прежде всего, необходимо обратить внимание на существенное отличие в самой постановке вопросов о делении кватернионов и делении комплексных чисел. Для комплексных чисел частным от деления z 1 на z 2 называется решение уравнения z 2 x = z 1. Но для кватернионов произведение зависит от порядка сомножителей, поэтому вместо одного уравнения нужно рассматривать два:
q 2 x = q 1 (1)
x q 2 = q 1. (1*)
Соответственно этому решение уравнения (1) называется левым частным от деления q 1 на q 2 и обозначаетcя х л, а решение уравнения (1*) – правым частным х пр (в случае комплексных чисел х л = х пр).
Чтобы найти левое частное, умножим обе части уравнения (1) слева на .
хл = q1.
Непосредственной подстановкой в уравнение (1) убеждаемся, что это выражение действительно является решением.
Аналогично находится правое частное: х пр = q1 .
Пусть задан кватернион в алгебраической форме q = x + yi + uj + vk, и первая компонента х = 0. Такой кватернион называется чисто векторным (по аналогии с разложением вектора по базису трёхмерного векторного пространства i, j, k: yi + uj + vk), если же y = u= v = 0, то мы будем иметь дело со скалярной величиной (скалярный кватернион). Вообще же компонента х при действительной единице называется скалярной частью кватерниона (обозначение: scal q), а yi + uj + vk называется векторной частью кватерниона vect q. При сложении кватернионов независимо складываются их скалярные и векторные части. Геометрический смысл операции умножения кватернионов наиболее наглядно можно проиллюстрировать, начав с рассмотрения частных случаев.
Если q 1 и q 2 скалярные кватернионы, то их произведение также является скалярным кватернионом. В случае, когда q 1 = х – скалярный кватернион, а q 2 – чисто векторный кватернион, произведение
q 1× q 2 = x ·(yi + uj + vk)
является векторным кватернионом, и операция умножения совпадает с умножением вектора r в пространстве на действительное число x.
И, наконец, если оба кватерниона чисто векторные: q 1 = y 1 i + u 1 j + v 1 k, q 2 = y 2 i + u 2 j + v 2 k, то, обратившись к матричной модели
=
,
получим
q 1 q 2 = – (y 1 y 2 + u 1 u 2 + v 1 v 2) + (u 1 v 2 – v 1 u 2) i + (v 1 y 2 – y 1 v 2) j + (y 1 u 2 – u 1 y 2) k.
Как видно из последней формулы, скалярная часть произведения q 1 q 2 равна скалярному произведению векторов (q 1, q 2) со знаком минус. Векторная же часть q 1 q 2 – это векторное произведение [ q 1, q 2] записанное в координатах:
[ q 1, q 2] = = (u 1 v 2 – v 1 u 2) i + (v 1 y 2 – y 1 v 2) j + (y 1 u 2 – u 1 y 2) k.
Алгеброй ранга n (или просто алгеброй) над полем Р называется n-мерное векторное пространство над полем Р, если в нём помимо операций сложения векторов и умножения на скаляры (a), определено умножение векторов, которое подчиняется законам (для любых векторов а, b, c):
1) ассоциативному: а(bc) = (ab)c
2) двум дистрибутивным: (а+b)c = aс + bc, а(b + c) = ab + аc
3) умножение скаляров и векторов связано равенствами:
(aа)b = a(ab) = a(ab)
Алгебра, в которой выполняется действие обратное умножению (деления на нуль не требуется) называется алгеброй с делением.
Теорема Фробениуса (1878). Единственными алгебрами с делением над полем действительных чисел, определёнными с точностью до изоморфизма являются: само поле действительных чисел, поле комплексных чисел и тело кватернионов.
Задания для самостоятельного решения
№3.8. Дан кватернион q = 2 + 3 i – 5j + k. Найти:
а) ; б)
в)
.
№ 3.9. Найти обратный кватернион к кватерниону
№3.10. Найти левые и правые частные от деления кватерниона j + 2k на кватернион
№ 3.11. Найти произведение
№ 3.12. Вычислите произведение кватернионов q1 = 2 + 3i – 4j – k и q2 = 5 – i + 2j +3k различными способами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Волкова Н.А. Некоторые аспекты включения историко-математического материала в предметную подготовку будущего учителя математики // Проблемы современного математического образования в высшей школе: Материалы международной заочной научной конференции.– Ульяновск: УлГПУ, 2013. – С. 93 – 95.
2. Глухова Н.В. О мотивации изучения математических дисциплин студентами, обучающимися по направлению подготовки «Социальная работа» // Проблемы современного математического образования в высшей школе: Материалы международной заочной научной конференции.– Ульяновск: УлГПУ, 2013. – С. 130 – 134.
3. Дегтерёва М.П. Основания арифметики. – М.: Просвещение, 1964. – 192 с.
4. Ильязова Д.З., Куренева Т.Н. Алгебра и теория чисел. Часть 5.– Ульяновск, УлГПУ, 2001. – 24 с.
5. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979. – 559 с.
6. Ларин С.В. Числовые системы. – М.: Академия, 2001. – 160 с.
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 1361 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!