Тело кватернионов. Алгебры конечного ранга

Термин «кватернион» принадлежит ирландскому математику Уильяму Роуэну Гамильтону, и был введен им в 1843 году. Так как комплексные числа имеют вид а + bi, то есть состоят из двух частей, комплексные числа – это своего рода «двойные числа».

Замечание: в ряде источников двойными называются числа вида а + bi, где i ² = 1, а числа вида а + bi, где i ² = 0 называются дуальными. Разумеется, не следует путать эти числа с комплексными.

Буквально, слово «кватернионы» означает «четверные числа», то есть числа, имеющие вид

х + уi + uj + vk,

где i ² = j ² = k ² = –1. Иными словами, к действительным числам добавляют не одну, а сразу три мнимые единицы. Возникает вопрос, а почему же не рассмотреть вначале «тройные числа», то есть множество с двумя мнимыми единицами, а не с тремя. Сначала ответим на вопрос, а можно ли вообще добавить к полю комплексных чисел еще одну новую мнимую единицу так, чтобы построенное множество сохранило структуру поля. Оказывается ответ на этот вопрос отрицательный. Действительно, равенство i ² = j ² (= –1) можно переписать в виде i ² – j ² = 0, что равносильно в поле равенству (i – j)(i + j) = 0. В поле произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, то есть j = ± i, то есть, добавляя число j к полю комплексных чисел, мы не вносим в это поле ничего нового. Заметим, однако, что полученный вывод в неявном виде опирается на коммутативный закон умножения (при доказательстве формулы сокращенного умножения

i ² – j ² = (i – j)(i + j)

используется тот факт, что ij = ji). Однако операции над целым рядом математических (и физических) объектов свойством коммутативности не обладают. Поэтому дальнейшее расширение понятие числа в математике пошло по пути отказа от коммутативного закона.

Определение. Телом называется ненулевое кольцо с единицей, в котором каждый элемент отличный от нуля имеет обратный.

Уменьшив свои требования, то есть отказавшись от коммутативного закона, попробуем найти некоммутативное тело К, содержащее в себе новую мнимую единицу j, не совпадающую ни с одним из комплексных чисел (при этом, разумеется, коммутативный закон сохраняется для перемножения действительных или комплексных чисел, а вот j может и не быть перестановочным с некоторыми комплексными числами). Так как тело, по определению, является кольцом, элемент ij также должен принадлежать искомому телу. Предположим, что существует тело, состоящее из «тройных чисел» и произведение ij принадлежит этому телу, то есть ij = c ₀ + c ₁ i + c ₂ j, где с ₀, с ₁, с ₂ – действительные числа. Умножим обе части этого равенства на i слева. Получим:

– j = c ₀ i – c ₁ + c ₂ ij = c ₀ i – c ₁ + c₂(c ₀ + c ₁ i + c ₂ j),

откуда

(с ₀ с ₂ – с ₁) + (с ₀ + с ₁ с ₂) i + (1 + с ₂²) j = 0.

1 + с ₂² ≠ 0 (c ₂ – число действительное), следовательно,

j = ,

то есть j вновь является обычным комплексным числом. Поэтому для построения нового числового множества необходимо потребовать, чтобы ij также было новым числом. У. Гамильтон доказал, что необходимо потребовать, чтобы (ij)² = –1, то есть необходима ещё одна мнимая единица, которую обозначим символом k. Добавление такой мнимой единицы уже приводит к построению нового числового множества, которое и будем называть телом кватернионов.

Определение. Системой кватернионов называется тело, удовлетворяющее условиям:

1) оно содержит в себе поле комплексных чисел;

2) оно содержит новую мнимую единицу j (j ² = –1), которая не является комплексным числом, причём мнимая единица перестановочна с любым действительным числом;

3) (ij)² = – 1;

4) всякий элемент системы кватернионов представим в виде с ₁ + с ₂ j, где с ₁, с ₂ – комплексные числа.

Всякий элемент данной системы называется кватернионом, а система кватернионов также называется телом кватернионов.

Обозначим ij = k, тогда i ² = j² = k² = ijk = –1. Умножение мнимых единиц осуществляется по правилам:

ij = k, ji = – k,

jk = i, kj = – i,

ki = j, ik = – j.

Последние пять равенств выводятся из равенства ij = k путём умножения его слева или справа на различные (удобные) мнимые единицы. Например, умножая первое равенство на i слева, получим

i ² j = ik –j = ik ik =– j.

Затем умножаем, например, полученное равенство на k справа:

–jk = ik² –jk = –i jk = i

и так далее.

Запомнить эту «таблицу умножения» помогает рис.1, на котором кватернионы i, j, k изображены тремя точками окружности, расположенными по направлению движения часовой стрелки в алфавитном порядке. Произведение любых двух чисел из тройки i, j, k равно третьему, если движение от первого множителя ко второму происходит по часовой стрелке, и равно третьему со знаком минус, если движение происходит против часовой стрелки. Как видим, переместительное свойство умножения здесь не выполняется: произведение зависит от порядка сомножителей.

Рис. 1. Схема перемножения кватернионных мнимых единиц

Если с ₁ = х + уi, c ₂ = u + vi, то произвольный кватернион будет иметь вид

с ₁ + с ₂ j = х + уi + (u + vi) j = х + уi + uj + vk.

Такое представление кватерниона называется его алгебраической формой. Первое слагаемое называется скалярной частью кватерниона, уi + uj + vk – векторной частью. Аналогично можно выразить кватернион и, например, в виде z ₁ + z ₂ i, где z _n = a _n + b _n j (n = 1, 2):

z ₁ + iz ₂ = а ₁ + b ₁ j + i ×(a ₂ + b ₂ j) = а ₁ + b ₁ j + a ₂ i + b ₂ k.

Арифметические действия над кватернионами выполняются согласно обычным правилам раскрытия скобок. Так сумма двух кватернионов вычисляется по формуле

x ₁ + y ₁ i + u ₁ j + v ₁ k + x ₂ + y ₂ i + u ₂ j + v ₂ k =

= (x ₁ + x ₂) + (y ₁ + y ₂) i + (u ₁ + u ₂) j + (v ₁ + v ₂) k,

а произведение по формуле

(x ₁ + y ₁ i + u ₁ j + v ₁ k) (x ₂ + y ₂ i + u ₂ j + v ₂ k) =

= (x ₁ x ₂ – u ₁ u ₂ – y ₁ y ₂– v ₁ v ₂) + (y ₁ x ₂ – v ₁ u ₂ + x ₁ y ₂ + u ₁ v ₂) i + (u ₁ x ₂ + x ₁ u ₂ + v ₁ y ₂ – y ₁ v ₂) j +

+(v ₁ x ₂ +y ₁ u ₂ – u ₁ y ₂ + x ₁ v ₂) k.

Вывод последней формулы осуществляется непосредственно на основании дистрибутивного закона и таблицы умножения кватернионных мнимых единиц. Однако видно, что этот вывод весьма громоздок, a формула не слишком легка для запоминания. Для облегчения выполнения умножения кватернионов можно прибегнуть к матричной модели кватернионов в алгебраической форме.

Поскольку, по определению алгебраической формы комплексного числа, х и у являются действительными, матричная модель комплексного числа не изменится если каждому комплексному числу ставить в соответствии матрицу (черта сверху означает комплексное сопряжение), так как комплексно-сопряжённое к действительному числу рано самому этому числу, то есть = х для всех действительных х.

Теперь вернемся к представлению кватернионов в виде

z ₁ + iz ₂ = а ₁ + b ₁ j + i ×(a ₂ + b ₂ j) = а ₁ + b ₁ j + a ₂ i + b ₂ k.

Кватерниону z ₁ + i×z ₂ можно поставить в соответствие матрицу . Отличие от модели для комплексных чисел будет состоять в том, что элементы матрицы теперь являются не действительными, а комплексными числами (знак сопряжения теперь будет играть существенную роль). Операции в построенной матричной модели вновь будут согласованы с операциями над кватернионами. Далее, каждый элемент матрицы можно, в свою очередь, заменить на матрицу, задающую данное комплексное число, и мы получим блочную матрицу, состоящую из четырёх клеток, каждая клетка которой есть матрица размера 2х2, или же матрицу размера 4х4 с действительными элементами:

,

соответствующую кватерниону а ₁ + a ₂ i + b ₁ j + b ₂ k. Непосредственной проверкой убеждаемся, что действия над такими матрицами соответствуют действиям над кватернионами. Таким образом, кватернион можно представлять либо матрицей 2х2 с комплексными коэффициентами, либо матрицей 4х4 с действительными коэффициентами.

Матричное представление удобно использовать для выполнения умножения кватернионов, заметив при этом, что для получения результата нет необходимости выписывать обе матрицы целиком. Все коэффициенты кватерниона уже представлены в первом столбце матрицы (обратите внимание, что коэффициент при мнимой единице i находится на третьем месте, а при j – на втором), поэтому для получения ответа нам достаточно найти только первый столбец результата. Для этого можно первую матрицу выписать целиком, у второй же матрицы выписать только первый столбец.

Вычислим, например, матричным способом произведение кватернионов, которое было приведено выше: (x ₁ + y ₁ i + u ₁ j + v ₁ k) (x ₂ + y ₂ i + u ₂ j + v ₂ k).

Полностью выпишем матрицу, соответствующую первому кватерниону. Верхняя левая клетка определяется числом х ₁ + u ₁ j: , нижняя правая клетка – числом сопряжённым к этому числу, то есть числом х ₁ – u ₁ j: (заметим, что полученные матрицы также являются сопряженными друг к другу согласно определениям принятым в курсе линейной алгебры, где под сопряжённой матрицей понимается матрица транспонированная по отношению к исходной, все элементы которой являются комплексно-сопряжёнными к элементам исходной матрицы). Две другие клетки определяются компонентами y ₁ и v ₁: левая нижняя клетка – это матрица , правая верхняя – (матрица транспонированная к матрице и взятая со знаком минус). Таким образом, первый кватернион задается матрицей

.

Матрица второго кватерниона – такая же, только все индексы равны двум. Выписывать эту матрицу нет необходимости, достаточно выписать её первый столбец (х ₂, u ₂, y ₂, v ₂)^T – это все коэффициенты кватерниона, коэффициент при j выписывается раньше, чем коэффициент при i.

= ,

что соответствует кватерниону

(x ₁ x ₂ – u ₁ u ₂ – y ₁ y ₂– v ₁ v ₂) + (y ₁ x ₂ – v ₁ u ₂ + x ₁ y ₂ + u ₁ v ₂) i + (u ₁ x ₂ + x ₁ u ₂ + v ₁ y ₂ – y ₁ v ₂) j +

+(v ₁ x ₂ +y ₁ u ₂ – u ₁ y ₂ + x ₁ v ₂) k.

Данный результат полностью совпадает с полученным ранее путём раскрытия скобок.

Модулем кватерниона называется квадратный корень из суммы квадратов коэффициентов его представления в алгебраической форме

| q | = .

Любой кватернион можно нормировать, поделив его на его норму (поделив его на ). Полученный в результате кватернион будет иметь норму равную единице. Такой кватернион называется нормированным. Пусть дан кватернион q = x + yi + uj + vk. Сопряженным ему называется кватернион = x – yi – uj – vk.

Также как и для случая с комплексными числами, имеет место равенство q = | q |².

Доказательство:

= ,

то есть q = + 0 i + 0 j + 0 k = | q |².

Аналогично доказывается, что q = | q |².

Для каждого ненулевого кватерниона существует ему обратный. Обратным по отношению к кватерниону q называется кватернион q^{- 1}, обладающий свойством

q · q^{- 1} = q^{- 1}· q = 1.

Обратный кватернион находится по правилу, весьма похожему на правило нахождения обратного к комплексному числу:

q ^–1 = .

Действительно, q = q = = =1.

При описании деления кватернионов, прежде всего, необходимо обратить внимание на существенное отличие в самой постановке вопросов о делении кватернионов и делении комплексных чисел. Для комплексных чисел частным от деления z ₁ на z ₂ называется решение уравнения z ₂ x = z ₁. Но для кватернионов произведение зависит от порядка сомножителей, поэтому вместо одного уравнения нужно рассматривать два:

q ₂ x = q ₁ (1)

x q ₂ = q ₁. (1*)

Соответственно этому решение уравнения (1) называется левым частным от деления q ₁ на q ₂ и обозначаетcя х _л, а решение уравнения (1*) – правым частным х _пр (в случае комплексных чисел х _л = х _пр).

Чтобы найти левое частное, умножим обе части уравнения (1) слева на .

х_л = q₁.

Непосредственной подстановкой в уравнение (1) убеждаемся, что это выражение действительно является решением.

Аналогично находится правое частное: х _пр = q₁ .

Пусть задан кватернион в алгебраической форме q = x + yi + uj + vk, и первая компонента х = 0. Такой кватернион называется чисто векторным (по аналогии с разложением вектора по базису трёхмерного векторного пространства i, j, k: yi + uj + vk), если же y = u= v = 0, то мы будем иметь дело со скалярной величиной (скалярный кватернион). Вообще же компонента х при действительной единице называется скалярной частью кватерниона (обозначение: scal q), а yi + uj + vk называется векторной частью кватерниона vect q. При сложении кватернионов независимо складываются их скалярные и векторные части. Геометрический смысл операции умножения кватернионов наиболее наглядно можно проиллюстрировать, начав с рассмотрения частных случаев.

Если q ₁ и q ₂ скалярные кватернионы, то их произведение также является скалярным кватернионом. В случае, когда q ₁ = х – скалярный кватернион, а q ₂ – чисто векторный кватернион, произведение

q ₁× q ₂ = x ·(yi + uj + vk)

является векторным кватернионом, и операция умножения совпадает с умножением вектора r в пространстве на действительное число x.

И, наконец, если оба кватерниона чисто векторные: q ₁ = y ₁ i + u ₁ j + v ₁ k, q ₂ = y ₂ i + u ₂ j + v ₂ k, то, обратившись к матричной модели

= ,

получим

q ₁ q ₂ = – (y ₁ y ₂ + u ₁ u ₂ + v ₁ v ₂) + (u ₁ v ₂ – v ₁ u ₂) i + (v ₁ y ₂ – y ₁ v ₂) j + (y ₁ u ₂ – u ₁ y ₂) k.

Как видно из последней формулы, скалярная часть произведения q ₁ q ₂ равна скалярному произведению векторов (q ₁, q ₂) со знаком минус. Векторная же часть q ₁ q ₂ – это векторное произведение [ q ₁, q ₂] записанное в координатах:

[ q ₁, q ₂] = = (u ₁ v ₂ – v ₁ u ₂) i + (v ₁ y ₂ – y ₁ v ₂) j + (y ₁ u ₂ – u ₁ y ₂) k.

Алгеброй ранга n (или просто алгеброй) над полем Р называется n-мерное векторное пространство над полем Р, если в нём помимо операций сложения векторов и умножения на скаляры (a), определено умножение векторов, которое подчиняется законам (для любых векторов а, b, c):

1) ассоциативному: а(bc) = (ab)c

2) двум дистрибутивным: (а+b)c = aс + bc, а(b + c) = ab + аc

3) умножение скаляров и векторов связано равенствами:

(aа)b = a(ab) = a(ab)

Алгебра, в которой выполняется действие обратное умножению (деления на нуль не требуется) называется алгеброй с делением.

Теорема Фробениуса (1878). Единственными алгебрами с делением над полем действительных чисел, определёнными с точностью до изоморфизма являются: само поле действительных чисел, поле комплексных чисел и тело кватернионов.

Задания для самостоятельного решения

№3.8. Дан кватернион q = 2 + 3 i – 5j + k. Найти:

а) ; б) в) .

№ 3.9. Найти обратный кватернион к кватерниону

№3.10. Найти левые и правые частные от деления кватерниона j + 2k на кватернион

№ 3.11. Найти произведение

№ 3.12. Вычислите произведение кватернионов q₁ = 2 + 3i – 4j – k и q₂ = 5 – i + 2j +3k различными способами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Волкова Н.А. Некоторые аспекты включения историко-математического материала в предметную подготовку будущего учителя математики // Проблемы современного математического образования в высшей школе: Материалы международной заочной научной конференции.– Ульяновск: УлГПУ, 2013. – С. 93 – 95.

2. Глухова Н.В. О мотивации изучения математических дисциплин студентами, обучающимися по направлению подготовки «Социальная работа» // Проблемы современного математического образования в высшей школе: Материалы международной заочной научной конференции.– Ульяновск: УлГПУ, 2013. – С. 130 – 134.

3. Дегтерёва М.П. Основания арифметики. – М.: Просвещение, 1964. – 192 с.

4. Ильязова Д.З., Куренева Т.Н. Алгебра и теория чисел. Часть 5.– Ульяновск, УлГПУ, 2001. – 24 с.

5. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979. – 559 с.

6. Ларин С.В. Числовые системы. – М.: Академия, 2001. – 160 с.