Другие операции над натуральными числами

Натуральной степенью числа а (обозначается аⁿ) называется операция, удовлетворяющая следующим двум условиям:

1) а¹ = а;

2) аⁿ⁺¹ = aⁿ×a.

Свойства степеней:

1) a^n+m = aⁿ× a^m.

2) (aⁿ)^m = a^nm.

3) aⁿ ×bⁿ = (ab)ⁿ.

Вычитанием двух натуральных чисел а – b называется операция, которая паре чисел а и b ставит в соответствие натуральное число с такое, что а = b + c. а называется уменьшаемым, b – вычитаемым, с – разностью.

Вычитание для натуральных чисел не является бинарной операцией (множество натуральных чисел не замкнуто относительно вычитания).

Свойство 1. Разность двух натуральных чисел а и b существует тогда и только тогда, когда а > b.

Доказательство следует непосредственно из определения разности и «больше».

Свойство 2. Если разность двух натуральных чисел существует, то она единственна.

Доказательство осуществляется методом от противного. Предположим, что существуют две разности с₁ и с₂ чисел а и b, тогда

а = b + с₁ = b + с₂ => c₁ = c₂ (по закону сокращения).

Делением натуральныхчисел а и b называется операция, которая этим числам ставит в соответствие натуральное число с = а: b, такое, что а = b×с. а называется делимым, b – делителем, а с – частным.

Частное также существует далеко не для любых двух натуральных чисел.

Свойство 3. Для существования частного двух натуральных чисел а и b необходимо, но не достаточно, чтобы а ³ b.

Доказательство: Если частное а: b существует, то а = b×с. Если с = 1, то а = b и теорема справедлива, если же с отлично от 1, то для с существует предшествующий (обозначим его х), тогда с = х^/, откуда а = b×c = b×(x + 1) = bx + b => a > b, что также доказывает теорему.

Свойство 4. Если разность двух натуральных чисел существует, то она единственна.

Доказательство осуществляется методом от противного. Предположим, что существуют два частных от деления чисел а и b: с₁ и с₂, тогда

а = bс₁ = bс₂ => c₁ = c₂ (по закону сокращения).

Задания для самостоятельного решения

№ 1.13. Доказать свойства степеней методом математической индукции

№ 1.14. Доказать свойства:

а) Для любых натуральных чисел разность (а + b)– b существует и равна а;

б) Если разность b – с существует, то

а + (b – c) = (a + b) – c;

в) Если а > b > c, то

а – (b – c) = (a – b) + c;

г) Если разность а – (b +c) существует, то

a – (b + c) = (a – b) – c.