Расположенность кольца целых чисел

Кольцо, в котором введено отношение «быть больше нуля» (обозначается а > 0), называется расположенным кольцом, если для любых элементов этого кольца выполняются два условия:

1) справедливо одно и только одно из условий

a > 0 \/ –a >0 \/ a = 0

2) a > 0 /\ b > 0 => a + b > 0 /\ ab > 0.

Множество, в котором введено некоторое отношение порядка – нестрогого (рефлексивно, антисимметрично и транзитивно), либо строгого (антирефлексивно и транзитивно) называется упорядоченным. Если выполняется закон о трихотомии, то множество называется линейно упорядоченным. Если мы будем рассматривать не произвольное множество, а некоторую алгебраическую систему, например, кольцо или поле, то для упорядоченности такой системы вводятся также требования монотонности относительно вводимых в данной системе (алгебраической структуре) операций. Так упорядоченным кольцом/полем называется ненулевое кольцо/поле, в котором введено отношение линейного порядка (a > b), удовлетворяющее двум условиям:

1) а > b => a + c > b + c;

2) а > b, c > 0 => a c > b c;

Теорема 1. Всякое расположенное кольцо является упорядоченной системой (кольцом).

Действительно, если в кольце введено отношение «быть больше 0», то можно ввести и отношение больше для двух произвольных элементов, если положить, что

a > b ó a – b > 0.

Такое отношение является отношением строгого, линейного порядка.

Данное отношение «больше» является антирефлексивным, так как условие а > a равносильно условию а – а > 0, последнее же противоречит тому, что а – а = 0 (по первому условию расположенного кольца элемент не может быть одновременно больше 0 и равен 0). Таким образом, утверждение а > a является ложным для любого элемента а, поэтому отношение антирефлексивно.

Докажем транзитивность: если а > b и b > c, то a > c. По определению, из условия теоремы следует, что a – b > 0 и b – c > 0. Складывая эти два элемента большие нуля, мы снова получим элемент больший нуля (согласно второму условию расположенного кольца):

a – b + b – c = а – с > 0.

Последнее же означает, что а > c. Таким образом, введённое отношение является отношением строгого порядка. Более того, данное отношение является отношением линейного порядка, то есть для множества натуральных чисел справедлива теорема о трихотомии:

Для любых двух натуральных чисел справедливо одно и только одно из следующих трёх утверждений:

1) а > b

2) b > a

3) a = b.

Действительно (в силу первого условия расположенного кольца) для числа a – b справедливо одно и только одно из условий:

1) a – b > 0 = > a > b

2) – (a – b) = b – a > 0 => b > a

3) a – b = 0 = > a = b.

Свойства монотонности также выполняются для любого расположенного кольца. Действительно

1) а > b => a – b > 0 = > a + c – c – b > 0 = > a + c > b + c;

2) а > b /\ c > 0 => a – b > 0 => (по второму условию расположенного кольца) (a – b)c > 0 => ac – bc > 0 => ac > bc.

Таким образом, мы доказали, что любое расположенное кольцо является упорядоченным кольцом (упорядоченной системой).

Для всякого расположенного кольца будут также справедливыми следующие свойства:

а) a + c > b + c => а > b;

б) а > b /\ c > d => a + c > b + d;

в) а > b /\ c < 0=> a×c < b×c;

Те же свойства имеют место и для других знаков <, £, ³.

Докажем, например, свойство (в). По определению, из условия a > b следует, что а – b > 0, а из условия с < 0 (0 > c) следует, что 0 – с > 0, а значит и число – с > 0, перемножим два положительных числа (а – b)×(–c). Результат также будет положительным по второму условию расположенного кольца, то есть

(а – b)×(–c) > 0 => –аc + bc > 0 => bc – ac > 0 => bc > ac => ac < bc,

что и требовалось доказать.

г) аа = а² ³ 0;

Доказательство: По первому условию расположенного кольца либо а > 0, либо –а > 0, либо а = 0. Рассмотрим эти случаи отдельно:

1) а > 0 => a×a > 0 (по второму условию расположенного кольца) => a² > 0.

2) –а > 0 => (–а)(–а) > 0, но по свойству кольца (–а)(–а) = а×а = a² > 0.

3) а = 0 => а×а = a² = 0.

Таким образом, во всех трех случаях a² либо больше нуля, либо равно 0, что как раз и означает, что a² ≥ 0 и свойство доказано (заметим, что мы также доказали, что квадрат элемента расположенного кольца равен 0 тогда и только тогда, когда сам элемент равен 0).

д) ab = 0 ó a = 0 \/ b = 0.

Доказательство: Предположим противное (ab =0, но ни а, ни b нулю не равны). Тогда для а возможны только два варианта, либо а > 0, либо – а > 0 (вариант а = 0 исключен нашим предположением). Каждый из этих двух случаев распадается еще на два случая в зависимости от b (либо b > 0, либо – b > 0). Тогда возможны 4 варианта:

1) a > 0, b > 0 => ab > 0;

2) – а > 0, b > 0 => ab < 0;

3) a >0, – b > 0 => ab < 0;

4) – а > 0 –b > 0 => ab > 0.

Как видим, каждый из этих случаев противоречит условию ab = 0. Свойство доказано.

Последнее свойство означает, что расположенное кольцо является областью целостности, что также является обязательным свойством упорядоченных систем.

Теорема 1 показывает, что любое расположенное кольцо является упорядоченной системой. Верно и обратное – любое упорядоченное кольцо является расположенным. Действительно, если в кольце есть отношение a > b и любые два элемента кольца сравнимы между собой, то и 0 сравним с любым элементом а, то есть либо а > 0, либо а < 0, либо а = 0, что почти точно совпадает с первым условием расположенного кольца, требуется только доказать, что условие а < 0 равносильно в упорядоченном кольце условию –a > 0. Для того, чтобы доказать последнее, применим свойство монотонности упорядоченных систем: к правой и левой части неравенства а < 0 прибавим –а, в результате чего получим требуемое.

Второе условие расположенного кольца вытекает из свойств монотонности и транзитивности:

a > 0, b > 0 => а + b > 0 + b = b > 0 => a +b >0,

a > 0, b > 0 => а×b > 0×b = 0 => ab > 0.

Теорема 2. Кольцо целых чисел является расположенным кольцом (упорядоченной системой).

Доказательство: Воспользуемся определением 2 кольца целых чисел (см. 2.1). Согласно данному определению любое целое число это либо натуральное число (число n задаётся как [<n^/, 1>], либо противоположное натуральному (– n соответствует классу [<1, n^/>], либо 0 (класс [<1, 1>]). Введём определение «быть больше нуля» для целых чисел по правилу:

a > 0 ó а Î N

Тогда первое условие расположенного кольца автоматически выполняется для целых чисел: если а – натуральное, то оно больше 0, если а – противоположное натуральному, то –а – натуральное, то есть тоже больше 0, возможен также вариант а = 0, который также делает истинной дизъюнкцию в первом условии расположенного кольца. Справедливость второго условия расположенного кольца следует из того, что сумма и произведение двух натуральных чисел (целых чисел больше нуля) есть снова число натуральное, а значит и большее нуля.

Таким образом, все свойства расположенных колец автоматически переносятся на все целые числа. Кроме того, для целых чисел (но не для произвольных расположенных колец) справедлива теорема о дискретности:

Теорема о дискретности. Между двумя соседними целыми числами нельзя вставить никакое целое число:

(" а, х Î Z) .

Доказательство: рассмотрим все возможные случаи для а, и будем предполагать противное, то есть, что существует такой х, что

а < x < a +1.

1) если а – натуральное число, то и а + 1 – натуральное. Тогда по теореме о дискретности для натуральных чисел между а и а^/ = а + 1 нельзя вставить никакое натуральное число x, то есть х, во всяком случае, не может быть натуральным. Если предположим, что х = 0, то наше предположение о том, что

а < x < a +1

приведет нас к условию а < 0 < a + 1 (здесь мы просто подставили х = 0), откуда видим, что а < 0, что противоречит тому, что а – натуральное. Если х не натуральное и не 0, но х – целое, значит –х – натуральное, тогда х < 0. При этом, согласно нашему предположению, а < x, что по свойству транзитивности опять приводит к тому, что а < 0, что невозможно, так как а – натуральное. Таким образом, для натуральных а утверждение а < x < a +1 всегда ложно, и теорема справедлива.

2) а = 0. Тогда а + 1 = 1. Если выполняется условие а < x < a + 1, то мы получим 0 < x < 1, то есть с одной стороны х – натуральное (целое, большее нуля), а с другой стороны х меньше 1, что невозможно для натуральных чисел. Таким образом, для нуля наша теорема справедлива.

3) а – отрицательно (–a > 0), тогда а + 1 £ 0. Если а + 1 < 0, то умножая условие а < x < a + 1 на –1 получим:

–а–1 < – x < –a,

то есть приходим к ситуации рассмотренной в первом случае (так как и –а–1, и –а натуральные), откуда – х не может быть целым числом, а значит и х – не может быть целым. Ситуация, когда а + 1 = 0, означает, что а = –1, то есть

–1 < x < 0.

Умножением данного неравенства на (–1), приходим к случаю 2. Таким образом во всех ситуациях теорема справедлива.

Терема Архимеда. Для любого целого числа а и целого b > 0 существует такое натуральное n, что a < bn.

Для натурального а теорема уже была доказана, так как условие b > 0 означает натуральность числа b. Для а £ 0 теорема также очевидна, так как правая часть bn есть число натуральное, то есть также больше нуля.

В кольце целых чисел (как и в любом расположенном кольце) можно ввести понятие модуля:

|a| = .

Справедливы свойства модулей:

1) |a + b| £ |a| + |b|;

2) |a – b| ³ |a| – |b|;

3) |a × b| = |a| × |b|.

Доказательство: 1) Отметим, что из определения очевидно, что |a| есть величина всегда неотрицательная (в первом случае |a| = a ≥ 0, во втором |a| = –а, но а < 0, откуда –а > 0). Также справедливы неравенства |a| ≥ a, |a| ≥ –a (модуль равен соответствующему выражению, если оно неотрицательно, и больше его, если оно отрицательно). Аналогичные неравенства справедливы и для b: |b| ≥ b, |b| ≥ –b. Складывая соответствующие неравенства и применяя свойство (б) расположенных колец, получаем

|a| + |b| ≥ a + b |a| + |b| ≥ – a – b.

Согласно определению модуля

|a + b| = ,

но оба выражения в правой части равенства, как показано выше, не превосходят |a| + |b|, что доказывает первое свойство модулей.

2) Заменим в первом свойстве а на а – b. Получим:

|a – b + b| ≤ |a – b| + |b|

|a | ≤ |a – b| + |b|

Перенесём |b| из правой части в левую с противоположным знаком

|a| – | b| ≤ |a – b| =>|a – b| ³ |a| – |b|.

Доказательство свойства 3 предоставляется читателю.

Задача: Решить в целых числах уравнение

2у² + 3ху – 2х² + х – 2у = 5.

Решение: Разложим левую часть на множители. Для этого представим слагаемое 3ху = – ху + 4ху

2у² + 3ху – 2х² + х – 2у = 2у² – ху + 4ху – 2х² + х – 2у =

= у(2у – х) + 2х(2у – х) – (2у – х) = (у + 2х – 1)(2у – х).

Таким образом, наше уравнение может быть переписано в виде

(у + 2х – 1)(2у – х) = 5.

Поскольку нам требуется решить его в целых числах, х и у должны быть числами целыми, а значит и множители в левой части нашего уравнения тоже являются числами целыми. Число же 5 в правой части нашего уравнения может быть представлено как произведение целых множителей только 4 способами:

5 = 5×1 = 1×5 = –5×(–1) = –×1×(–5). Поэтому возможны следующие варианты:

1) 2) 3) 4)

Среди перечисленных систем только (4) имеет целочисленное решение:

х = 1, у = –2.

Задания для самостоятельного решения

№ 2.4. Для элементов а, b, c, d произвольного расположенного кольца доказать свойства:

а) a + c > b + c => а > b; б) а > b /\ c > d => a + c > b + d.

№ 2.5. Решить в целых числах уравнения:

а) у2 – 2ху – 2х = 6; б) 2х2 – 11ху + 12у2 = 17; в) 35ху + 5х – 7у = 1; г) х2 – 3ху + 2у2 = 3; д) ;

е) ху + 3х – 5у + 3 = 0; ж) 2ху – 3у2 – 4у + 2х = 2; з) ху2 + х = 48; и) 1! + 2! + 3! + … + n! = y2; к) х3 – 2у3 – 4z3 = 0

№ 2.6. Найдите четырёхзначное число, являющееся точным квадратом и такое, что его первые две цифры равны между собой и последние две цифры равны между собой.

№ 2.7. Найдите двузначное число, равное сумме чисел его десятков и квадрата его единиц.

№ 2.8. Найдите двузначное число, которое равно удвоенному произведению его цифр.

№ 2.9. Докажите, что разность между трёхзначным числом и числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке не может быть квадратом натурального числа.

№ 2.10. Найдите все натуральные числа, оканчивающиеся на 91, которые после вычёркивания этих цифр уменьшаются в целое число раз.

№ 2.11. Найдите двузначное число, равное квадрату его единиц, сложенному с кубом его десятков.

№ 2.12. Найдите шестизначное число, начинающееся с цифры 2, которое от перестановки этой цифры в конец числа увеличивается в 3 раза.

№ 2.13. На доске записано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое всех этих чисел равно – 3, среднее арифметическое положительных из них равно 4, а среднее арифметическое отрицательных из них равно – 8. Сколько чисел написано на доске? Каких чисел больше, положительных или отрицательных? Каково максимально возможное число положительных чисел?

№ 2.14. Может ли частное трехзначного числа и суммы его цифр быть равно 89? Может ли это частное быть равно 86? Каково максимально возможное значение данного частного?