Комплексная форма интеграла Фурье

Определение 18. Если f (x) – имеет на каждом конечном интервале лишь конечное число точек разрыва первого рода и абсолютно интегрируема на всей числовой оси, то в каждой точке x, в которой f (x) дифференцируема, выполняется равенство

(2.11)

Где (2.12)

Функцию c (u) называют преобразованием Фурье функции f (t), или (учитывая физические соображения) спектральной характеристикой функции f (t). называется амплитудным спектром функции f (t). Выражение f (x) по формуле (2.11) называют комплексной формой интеграла Фурье (или обратным преобразованием Фурье).

Подстановка (2.12) в (2.11) приводит к двойному интегралу Фурье в комплексной форме:

(2.13)

Пример 11. Найти спектральную функцию и амплитудный спектр функции

a > 0.

Представить f (x) комплексной формой интеграла Фурье.

Решение:

По формуле (2.12) находим спектральную функцию, учитывая, что при t < 0 f (t) =0:

Амплитудный спектр

=

Комплексная форма (2.11) интеграла Фурье данной функции имеет вид