Периодические функции

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Введение.

Современное развитие техники предъявляет повышенные требования к математической подготовке инженеров. В результате постановки и исследования ряда конкретных проблем механики и физики возникла теория тригонометрических рядов. Важнейшую роль ряды Фурье играют во всех областях техники, опирающихся на теорию колебаний и теорию спектрального анализа. Например, в системах передачи данных для описания сигналов практическое применение спектральных представлений неизменно приводит к необходимости экспериментального осуществления разложения Фурье. Особенно велика роль тригонометрических рядов в электротехнике при изучении периодических несинусоидальных токов: амплитудный спектр функции находится с помощью ряда Фурье в комплексной форме. Для представления непериодических процессов применяется интеграл Фурье.

Тригонометрические ряды находят важное применение в многочисленных разделах математики и доставляют особенно удобные методы для решения трудных задач математической физики, например, задачи о колебании струны и задачи о распространении тепла в стержне.

Периодические функции.

Многие задачи науки и техники связаны с периодическими функциями, отражающими циклические процессы.

Определение 1. Периодическими называются явления, повторяющиеся в одной и той же последовательности и в одном и том же виде через определенные интервалы аргумента.

Пример. В спектральном анализе – спектры.

Определение 2. Функция у = f (x) называется периодической с периодом Т, если f (x + Т) = f (x) при всех х и x + Т из области определения функции.

На рисунке период изображенной функции Т = 2.

Определение 3. Наименьший положительный период функции называется основным периодом.

Там, где приходится иметь дело с периодическими явлениями, почти всегда встречаются тригонометрические функции.

Период функций равен , период функций равен .

Период тригонометрических функций с аргументом (ах) находится по формуле:

.

Пример. Найти основной период функций 1) .

Решение. 1) . 2) .

Лемма. Если f (x) имеет период Т, то интеграл этой функции, взятый в пределах, отличающихся на Т, не зависит от выбора нижнего предела интегрирования, т.е. = .

Основной период сложной периодической функции у = f (x) (состоящей из суммы периодических функций) – это наименьшее общее кратное периодов составляющих функций.

То есть, если f (x) = f ₁(x) + f ₂(x), Т ₁ – период функции f ₁(x), Т ₂ – период функции f ₂(x), то наименьший положительный период Т должен удовлетворять условию:

T = nT ₁ + kT ₂, где (*) –

основной период сложной периодической функции – наименьшее общее кратное чисел T₁ и T₂.

Пример. Найти наименьший положительный (или основной) период функции .

Решение. Пусть f ₁(x) = , f ₁(x) = . Тогда , . Подставим в (*): , отсюда . Данное условие выполняется при минимальных значениях k = 3, n = 4. Следовательно,