Вычисление скалярного произведения векторов в координатах

Вычисление скалярного произведения векторов в координатах наиболее просто в том случае, когда вектора заданы своими координатами относительно ортонормированного базиса.

B = (i, j) - ортонормированный базис

(1)

Пусть даны 2 вектора: a и b, имеющие координаты относительно ортонормированного базиса a (a₁ , a₂) b (b₁, b₂)

Тогда (a b) = a₁b₁ + a₂b₂

Доказательство:

a (a₁,a₂) Þ a = a₁i + a₂j

b (b₁,b₂)Þ b = b₁j + b₂j

(a b) = a₁b₁j² + a₁b₂ (i j) + a₂b₁ (j i) + a₂b₂j² = a₁b₁ + a₂b₂

(a b) = a₁b₁ + a₂b₂

Следствия: Из геометрических свойств скалярного произведения и формулы

скалярного произведения координат, вытекают свойства:

1). | a | =

2). cos (a ^, b) = =

3). a ^ b Û a₁b₁ + a₂b₂ = 0

4). a⁰ = a

a⁰