Графики функций двух переменных

Для построения графиков поверхностей и кривых в пространстве пред­назначена функция plot3d. Функция plot3d имеет два варианта вызова: один для явного задания функции и один для параметрического. В обоих случаях функция принимает три аргумента.

Синтаксис для явно заданной функции:

plot3d(выражение, [переменная1, начало, конец], [переменная2, начало, конец]);

- здесь аргументы аналогичны plot2d, с той разницей, что здесь независимых пере­менных две.

График параметрически заданной функции строится так:

plot3d([выражение1, выражение2, выражение3], [переменная1, начало, конец], [переменная2, начало, конец]);

- здесь выражения соответствуют, по порядку, x (u, v), y (u, v), z (u, v).

Для построения 3D графика функции в сферической системе коорди­нат используется функция

spherical (radius, azi, minazi, maxazi, zen, minzen, maxzen)

где функция radius(azi, zen) задается в сферических координатах.

Для построения 3D графика функции в цилиндрической системе коор­динат используется функция

cylindrical (radius,z,minz,maxz,azi,minazi,maxazi)

где функция radius(z, azi) задается в цилиндрических координатах.

Пример 1. Построить график поверхности z = 2x² + 5y² (эллиптический параболоид). После нажатия клавиш Shift+Enter или F5 формируется ячейка ввода, которой вводим команду plot3d(2*x^2-5*y^2,[x,-5,5],[y,-5,5])

(%i18) plot3d(2*x^2+5*y^2,[x,-5,5],[y,-5,5]);

открывается окно программы Gnuplot graph с графиком функции:

Аналогичным образом строим график гиперболического параболоида z = 4x² - y²

(%i19) plot3d(4*x^2-y^2,[x,-5,5],[y,-5,5]);

Пример 2. Построить график поверхности эллиптического цилиндра .

Зададим уравнение эллиптического цилиндра в параметрической форме.

После нажатия клавиш Shift+Enter формируется ячейка ввода, в которой вводим команду plot3d([3*cos(t),2*sin(t),v],[t,-%pi,%pi],[v,0,10]);

(%i2) plot3d([3*cos(t),2*sin(t),v],[t,-%pi,%pi],[v,0,10]);

открывается окно программы Gnuplot graph с графиком функции:

Аналогичным образом строим график гиперболического цилиндра

Зададим уравнение гиперболического цилиндра в параметрической форме.

В ячейку ввода вводим команду plot3d([3*cosh(t),2*sinh(t),v],[t,-2,2],[v,0,10]);

(%i7) plot3d([3*cosh(t),2*sinh(t),v],[t,-2,2],[v,0,10]);

График гиперболического цилиндра имеет вид

Пример 3. Построить график поверхности трёхосного эллипсоида .

Зададим уравнение трёхосного эллипсоида в параметрической форме.

После нажатия клавиш Shift+Enter формируется ячейка ввода, в которой вводим команду plot3d([3*cos(u)*cos(v), 2*cos(u)*sin(v), sqrt(5)*sin(u)],[u,-%pi,%pi], [v,-%pi,%pi]);

(%i8) plot3d([3*cos(u)*cos(v), 2*cos(u)*sin(v), sqrt(5)*sin(u)],[u,-%pi,%pi], [v,-%pi,%pi]);

открывается окно программы Gnuplot graph с графиком функции:

Аналогичным образом строим график однополостного гиперболоида

Зададим уравнение однополостного гиперболоида в параметрической форме.

В ячейку ввода вводим команду plot3d([sqrt(2)*cos(u)*cosh(v), 3*sin(u)*cosh(v), sqrt(3)*sinh(v)],[u,-%pi,%pi], [v,-%pi,%pi]);

(%i9) plot3d([sqrt(2)*cos(u)*cosh(v), 3*sin(u)*cosh(v), sqrt(3)*sinh(v)],[u,-%pi,%pi],

[v,-%pi,%pi]);

График однополостного гиперболоида имеет вид

Аналогичным образом строим график двуполостного гиперболоида

Зададим уравнение двуполостного гиперболоида в параметрической форме.

В ячейку ввода вводим команду plot3d([2*cos(u)*sinh(v), sqrt(5)*sin(u)*sinh(v), sqrt(6)*cosh(v)],[u,-%pi,%pi], [v,-%pi,%pi]);

(%i12) plot3d([2*cos(u)*sinh(v), sqrt(5)*sin(u)*sinh(v), sqrt(6)*cosh(v)],[u,-%pi,%pi],

[v,-%pi,%pi]);

График двуполостного гиперболоида имеет вид